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1、平面向量与解析几何的综合运用数学组就冬芳由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具冇“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析儿何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析儿何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。近几年全国各地的高考试题中，向量与解析结合的综合问题时冇岀现。但从最近教学情况来看，学生对这一类问题的学握不到位，在试卷上经常出现进退两难的境地，因此，就这一问题做一归纳总结和反思。平而向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思
2、路是将儿何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的儿何意义，利用其儿何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：1、运用向量共线的充要条件处理解儿屮有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解儿中有关平行、共线等问题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。例1.(全国卷I))已知椭恻的中心为坐标原点O,焦点在兀轴上，斜率为1且过椭I员I右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA^OB与方=(3,-1)共线。(I)求椭圆的离心率；(II)设M为椭圆上任意一点，且亦=兄刃
3、+“帀(2,“wR),证明才+“2为定值。解:设椭圆方程为孚+£=i(a>b>0),F(c,0)cTb22则直线AB的方程为y=x-c,代入罕+匚=1,化简得b2(q2+b2)x2-2a2exa2c2-a~b~=0.令A(西」)，B(x2,.y2),则卄二孳—严心用「a~+b~+b-由OA+OB=(X
4、+x?,+”),a=(3,—1),OA+OB与a共线，得3(兀+j2)+(x,+兀2)=0,乂)=x{-c,y2=x2-c,即上二=虫，所以a2=3b2.a2+b22c_V63...3(X］+-2c)+(兀］+X9)=0
5、,...X,+=—c.•c=a2-b9故离心率幺3221可化为F+3)，=3bS(II)证明:(1)知a2=3b2,所以椭圆各+笃a2h2设OM=(x,y),由已知得(x,y)=2(坷，％)+//(x2,y2),x=Ar.+/JX"o0.s"•/M(x,y)在椭圆上，.•.(加［+3(兄J】=3〃~・y=Ax{+・即A2(%!2+3>7)+“2(兀；+3y；)+22//(x1x2+=3b2.®由(1)知兀i+兀2=—,a2=—c2,b2=-c2.2222a2c2-a2h2321-a2+b28兀］兀2+3儿歹2=X1X2
6、+3(旺~C)(X2~C)=4xjX2-3(%j+x2)c+3c2=1c2_1c2_,3c222=0.乂环+3片=3沪,近+3y；=3沪,代入①得才+亍=1故才+“2为定值,定居为1.例2(天津卷)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2血，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线I与x轴相交于点A,
7、OF
8、=2
9、FA
10、.过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I)求椭圆的方程及离心率；(II)若OP-OQ=0,f求直线PQ的方程；(III)设乔=W(2>1),过点P且平行于准线I的直线与椭圆相交于另一点M,证明：~FM=-AjQ
11、・［简解］(I)椭圆方程为孚+疋=1,离心率e=^.(II)略.623(III)［证明］设P(x』),Q凶旳，乂A(3,0),AP=(x{-3,y}AQ=(x2一3,y2)由已知得方程组:X]_3=兄（兀2_3）,儿=^y2;注意入>1,消去xi、yi和y2得52-1兀2=•因F(2,0),M(xi,—yi),22丄匚―1-2A-1故FM=g—2,—yJ=(2(兀2—3)+1,—yJ=(-—,—yJ=-^(―-,力)•22/t―；-1而FQ=(x2-2,y2)=(——,y2).所以~FM=-AFQ.2.运用向量的数量积
12、处理解几中有关长度、角度、垂直等问题；运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。例3.(重庆卷)设p>0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心)，试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。［分析］要证点O在圆H上，只要证OA丄OB,可转化为向量运算OAOB=0,用向量运算的方法证明.(见图1)［解答］由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x—2p又设A
13、(xa$a)卩伽也)，则其坐标满足「ky=x—2p(2c消去x，得y2-2pky-4p2=0ly=2pxy图1r+yB=2pk由此得2i=—4pxA+xB=4p+k(ya+yb)=(4+2k2)pXaXb=(y»)(2p)22-=4P2因此OAOB=xAxB+yAyB=O,即OA丄OB故0必在圆H的圆周上。又rtl
