如何运用数学思想解决中考题第35讲

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1、第36讲：如何运用数学思想解决中考题数学思想是解决数学问题的灵魂，因此，也是中招考试的重点•初中最常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、运动变化思想等.一、转化思想：将较抽象、复杂或较隐含的已知条件或结论转化为较直观、简单或较浅显的已知条件或结论的思想即为转化思想.例己知q=“是。的小数部分，求a-丄的值.b解析：本题口中的是Q的小数部分”一句话较抽彖，按照常规的思路，即因为a=45=2.236…，所以〃=0.236・・・.显然这样是很难求解的.若能够把这句话转化理解为

2、：因为a=45=2+b,所以b=^-2,则显然有a--=^5一一丿一=一2.bV5-2转化思想是最常见的数学思想之一，我们做题过程本身就是问题的转化过程.我们平时做题时所用到的等量代换、比例式与乘积式的互化、换元法等等都是转化的手段.灵活运用转化思想，能够深入挖掘题「I屮的隐含条件，将复杂的问题简单化.二、数形结合思想：数学家华罗庚说过；“数无形，少直观；形无数，难入微数和形是事物存在的两个方血，数形结合思想也是一种很亜要的数学思想•有效的利用数形结合思想，便丁我们深刻理解题意，也是化难为易的捷径

3、.4例2：（2007丽水）如图，直线y=-一x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点4顺时针旋转90。后得到△40®,则点的坐标是（）A.（3,4）B・（4,5）C.（7,4）D・（7,3）解析：结合图形知,易求得0A=3,0B=4oAAOB绕点A顺时针旋转90。后得到△AOB后，q/a丄*轴，0B/〃x轴则点歹的横坐标=OA+OB=7,点的纵坐标=OA二3,所以选择D。例3：（2006年重庆课改卷）如图，已知函数y=ax-¥b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得，关于小yy=ax+b,’

4、的解是y=kx的二元一次方程组解析：结合一次函数的图像，因为两个一次函数的图像的x=-4y=-2交点为（一4,—2）,则丿j程组的解为y=kxy-4P=ax+b0-2AFBE4题评注：此题的解法，把抽象的数（方程组的解）用直观的点（的坐标）來表示，充分运用了数形结合思想.三、方程思想：解答数学问题时，通过列方程的方法，把已知条件和某些未知的结论联系起来，从而达到求解的「I的，这种思想就是方程思想.例4：（2005年太原）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,如果AE=4,EF=3,

5、AF=5,那么正方形ABCD的而积等于（）225c226厂256小289A——B——C——D——16151716解析:根据勾股定理的逆定理,易判断三角形AEF为直角三角形，则ZAEB+ZFEC=90°,AE4v4易判断△ABE°°AECF,不放设BE=x,AB=y,则EC=y-x,因为==—，所以一-—=—,EFEC3y-x3即y=4x,*.•x2+y2=42,17x2=16,x=,/.y=<,S=y2=,选V17V1717C.评注：解决此题的关键就是利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理构造方程

6、，从而达到了求解的H的.四、分类讨论思想：分类讨论思想就是把事物可能出现的各种情况分类别并加以讨论的数学思想，例如去绝对值符号时要考虑数的正负，开平方时的两个平方根，不等式两边同乘以或除以一个代数式时应考虑其正负等，均为分类讨论思想•儿何上如I员1周和定理的证明也运用了分类讨论思想.分类讨论思想能考杳思维的周密性，若不能合理分类或分类不完整，就会导致解题时出现错误或漏解，尤其是在解决一些让自己画图的几何计算或证明题时,要把图形可能出现的各种情况都考虑在内•例5：(2006年江苏盐城)数轴上到原点的

7、距离为2的点所表示的数是.解析：有两个2和一2.例6：(2005荆门)已知直角三角形两边兀、y的长满足兀2_4+Jy2_5y+6=(),贝I」第三边长为分析与解答山己知易得x=2,y,=2,旳=3.(1)若兀=2,y=2是三角形两条直介边的长,则第三边长为>/22+22=2近・(2)若x=2,y=3是三角形两条直角边的长,则第三边长为V22+32=V13,(3)若兀=2是一角边的长，y=3是是斜边，则第三边长为曲2-2?=亦.・・•第三边长为2血或阪V5.五、运动变换思想：运动变换思想是研究某些儿

8、何图形的性质和某些函数问题的重要思想方法.运用运动变换思想解题吋，既要用动态的观点去分析问题，解决问题，乂要抓住问题的实质，分淸在运动变化过程中哪些量、性质没有变，以不变应万变，使问题得以圆满解决•在特定的条件卞(某个特殊时刻)，把运动的点或者图形当作静态的点或者图形去研究是解决这类问题的根木方法.例7：(2007山东滨州)如图1所示，在厶ABC中，AB=AC=2,ZA=90°,O为BC的中点，动点E在84边上自由移动，动点F在/1C边上自由移动.⑴点E,F的移动过程中，AOEF是