内容分析与教学建议

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1、第八章重积分一、内容分析与教学建议重积分和定积分一样，都是來口实践中非均匀求和的需耍，各种积分是不同维数空间的具体表现，因此教学屮要从实例引出概念，且重点讲透二重积分概念和计算，避免平均使用力量（一）重积分概念及性质关于重积分的概念，可山曲顶柱体或平面薄片质量等实例，在凹顾定积分定义的基础上,通过分割、近似、求和、取极限來建立，至于性质的证明，可略讲。关于三重积分的概念和性质，和二重积分类似，教学上不必尼较多时间。（-）重积分的计算重积分一般都是化为累次积分来计算的，转化的关键是确定积分的上下限。对于二重积分

2、，在推出靑角朋标和极处标的计算公式之后，应多举些例题，重点讲解画图，解不等式定限法及选择积分顺序及处标系等技巧。关于三重积分，这部分内容比较复杂，教学上应细致。计算方法有直角坐标、柱面坐标和球面坐标法。对于直角坐标，除了讲解一般方法（先一后二法），还应介绍先二后一法。关于极坐标和球而坐标，首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲而的表示方法，然厉在此基础上，结合几何意义，讲解定限及积分计算的具体方法。重积分的具体计算,通常耍考虑到以下几个方面，选择合适的坐标系及恰当的积分顺序,确定积分的上下限，正确使用对称性（见

3、附后），最后可通过一些综合例子，加强这方面理解和训练。（三）重积分应用首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法，其次要结合足够实例，使学生掌握用垂积分来计算儿何量（如面积体积等）及物理量（重心、转动惯量等）。附：二重积分的对称性质一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下：结论1：如果枳分区域Q关于y对称，D｝=｛（x,y）

4、（^）0eD,x>0｝则0J[A(x,yW=2jj/(xvWD□当f(~x,y)=-f(x,y)吋当f(-x9y)=f(x9y)时结论2：如果积分区域Q关于兀轴对

5、称，Dl={(x.y)(x,y)eD,y>0}则0Jf/(%,yW=2

6、

7、/(xoW当f(x-y)=-f^y)时当f(x-y)=f(x,y)时结论3：如果积分区域£>关于坐标原点0对称，则0Jj/(x,yW=<2jj/(xo，w当f(-x-y)=-f(x.y)时当f(-x-y)=f(x,y)时其中Z),={(x,y)(x,y)eD,x>0}结论4：如果积分区域D关于宜线对称，则JJ7(X,y)db二JJ7(y,X)d(yDD三重积分的对称性,由教师自己给出。二、补充例题例1.利用二垂积分性质，估计积分/=jj

8、(x24-4y2+9W的值，其中D是图形区域：x2+y2<4D解法1.首先求/(x,y)=F+4y2+9在£>上的最小值加和最大值M由于生=2x,=8y,令生=0,生=0得驻点(0,0),/(0,0)=9dxdydxdyD的边界x2+>'2=4,此时f(x,y)=x24-4y2+9=4—y?+4y2+9=13+3)”•••0<<4.•・13*(兀,刃525・••M=max{9,13,25}=25,m=min{9,13,25}=9,9

9、帀，/.36兀:x2+y2<4)・・・(f+4〃2+9)“2+4〃2+9§4(孕+〃2)+99<^2+4r)2+9<16+9=2536k分为D

10、和D?,其中Dj：-1

11、D2

12、=Ldx'例3ffi：注：例4证：证明『dxif(y)dy=Cf(y)(b-y}dy(f连续)JaJaJacbCx[a0,试证

13、明「/(x)dx「一!一必〉(b-a)?人九/U)设平面区域D={(x,y)a1=JJdxdy=(b_a)2D计算+yf(x2+y2)lxdy,其中£>由>?=x3,y=l,尤=一1围成。D如图，作iiii线则积分区域被分为p和0,Q关于兀轴对称，2关于y轴对称。由于被积函数是X的