三角形探究性问题的探究

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1、ZAAD冷X40。二20。=(*)吹三角形探究性问题的探究□安徽李庆社三角形是基本的几何图形，也是历年各地中考的必考知识，由于近年來研究性学习的不断深人，各地中考中又出现了许多有关三角形的操作与探究型问题，这使不少同学更加感到困惑，为方便同学们的学习，现举儿例说明这类问题的解答方法.一、三角形内角和问题的探究例1（2012贵州贵阳）如图,在第］个AABAi中，ZB=20°,AB=A.B,在A】B上取一点C,延长AAi到A2,使得AiA2=A）C；在A2C±取一点D,延长AH到使得A2A尸A』）；……，按此做法进行下去，第n个三角形的以九为顶点的内角的度数为.【解析】可得到ZAAiB=80

2、°,ZA1A2CMO0=-X8O0,280°,……，故可猜想第n个三和形的以A「•为顶点的内角的度数为（丄）^*80°.2答案：（丄）.2【点评】本题川到的知识点有等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的内角与外角的关系，但更重要的是解决本题的从特殊到一般的归纳思想方法，运用归纳思想解题的一般步骤是先求出儿种特殊情况卜•问题的解，然后从中观察归纳得出编含的一般规律，最后用所得规律解题.二、三角形边长最小值问题的探究例2（2012山东莱芜）在AABC中，AB=AC=5,BC二6,若点P在边AC上移动，则BP的最小值是【解析】过点A作AD丄BC于点D,因为AB=AC=5,BC=6,所以B

3、D=3,所以AD=4,根据垂线段最短，当BP丄AC时，BP有最小值.?4根据AD・BC=BP・AC得到，4x6=5BP,BP=—524【答案】—.5【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学牛解决等腰三角形解决等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强.三、三角形作图性问题的探究例3（2012•哈尔滨）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1•点A和点B在小正方形的顶点上.（1）在图1屮画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；（2）在图2中画出AABD（点D在小止方形的顶点上），使AA

4、BD为等腰三角形（画一个即可）:—卜+4—（图1）2）IIIIIIIIII【解析】木题考查网格中的作图能力、勾股定理以及等腰三介形性质.（1）可以分三种情况来考虑:以A（B）为直角顶点，过A（B）作AB垂线（点C不能落在格点上）以C为直角顶点：斜边AB二5,因此两直角边可以是3、4或循、V20;（2）也分可分三情况考虑：以A（B）为等腰三角形顶点：以A（B）为圆心，以5为半径画弧來确定顶点C；以C为等腰三角形顶点：作AB垂直平分线连确定点C（点C不能落在格点上）.【点评】本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、直角三用形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论

5、的数学思想，有一定的难度，容易错解和漏解.四、三角形分割问题的探究例4（2012山东省青岛市）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以AABC的三个顶点和它内部的一•个点P,共4个点为顶点，可把AABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把AABC分割成3个互不重叠的小三角形.探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点，可把AABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一啲基础上

6、，我们可看作在图①AABC的内部，再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在APAC内部，如图②;另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③；显然，不管哪种情况，都可把AABC分割成5个互不重叠的小三角形.探究三：以AABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把AABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图.探究四：以AABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个顶点可把AABC分割成_个互不重叠的小三角形。探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个

7、点，共（m+4）个顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形。问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个顶点，可把AABC分割成个互不重叠的小三角形。实际应用:以八边形的8个顶点和它内部的2012个点,共2020个点,可把八边形分割成多少个互不重證的小三角形？（要求列式计算）【解析】观察图形发现：内部每多一个点，则多2个三介形，从而得到一般规律为n+2（m-l）或2m+n・2.根据根据规律逐一解答.【答案】探究三：