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1、第十三讲操作与探究性问题例一：26.（2009年江苏省）观察与发现小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点力的直线折叠，使得落在边上，折痕为外〃，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点〃和点〃重合，折痕为肪，展平纸片后得到△4EF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.AA图⑤（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点〃的肓线折亞，使点/落在％边上的点尸处，折痕为滋（如图③）；再沿过点F的直线折叠，使点〃落在朋上的点D处，折痕为贞（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中Za的大小.练习一：29.（2009年太原市）问题解决如图（1）,将正方
2、形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C,Q重合），压平后得到CE1AM折痕MN.当—时，求竺的值.CD2BNF图（2）方法指导：为了求得如的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2BN类比归纳rp1amCF1AM在图（1）中，若—则竺的値等于:若—则竺的值等于:若CD3BNCD4BNCE1AM—=-（斤为整数），则——的值等于・（用含斤的式子表示）CDnBN联系拓广如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C,D重合），压平后得到4D1rp1AM折痕MN,设——=-（m>lY—=—，则——的值等于.（用含m,n的式子表示）BC7C
3、DnBN例题二：23.（2009年河北省）如图13-1至图13-5,00均作无滑动滚动，04、gOQ、OQ均表示与线段/〃或％相切于端点时刻的位置,00的周长为C.阅读理解：(1)如图13-1,00从(Dd的位置出发，沿加滚动到(DQ的位置，当AB=c时，O0恰好自转1周.(2)如图13-2,ZMC相邻的补角是刀°,00社乙ABC外部沿A~B~C滚动，在点B处,必须由＜3〃的位置旋转到OQ的位置，(DO绕点B旋转的角ZttBO,=nQ,°。在点〃处自转佥周B(1)在阅读理解的(1)中，若AB二2c,则O0自转周；若AB=7,则O0白转周.在阅读理解的(2)中，若ZABC二
4、20。,则00在点〃处自转周；若ZA^C=60°,则在点〃处自转周.(2)如图13-3,ZJ/?r-90°,AB二BC丄c・00从0“的位置出发，2在外部沿沪沪厂滚动到OQ的位置，口转拓展联想：(1)如图13-4,△加农的周长为/,O0从与M相切于点〃的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与/!〃相切于点〃的位置，O0自转了多少周？请说明理由.(2)如图13-5,多边形的周长为厶O0从与某边相切于0点〃的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，乂回到与该边相切于点D的位置，直接写出。0白转的周数.0】BACN-^4A图1练习二：25.(2009年漳州
5、市)(第25题)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线Z同旁的两个定点.问题：在直线/上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为称性可知，B与D关于直线AC^称.图13-3c连结AB交/于点P,则PA+PB=A'B的值最小(不必证明).2,E为A3的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是:实践应用：(2)如图2,的半径为2,点A、B、C在00上，Q4丄OB,ZAOC=60°,P是0B上一动点,求PA+PC的最小值；(3)如图3,ZAOB=45°,P是ZAOB
6、内一点，PO=10,Q、/?分别是Q4、05上的动点，求△PQR周长的最小值.例题三：26.（2009年绥化市）如图1,在四边形ABCD^fAB=CDfE.F分别是BC、AD的中点，连结EF并延反，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则ZBME=ACNE（不需证明）.（温馨提示：在图1屮，连结BD,取的屮点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理，可证得HE=HF,从而ZHFE=ZHGF,再利用平行线的性质，可证得ZBME=ACNE.）问题一：如图2,在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF,分别交DC、AB于点M、N,
7、判断AOMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图3,在厶ABC中，AC>AB,D点在4C上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长，与B4的延长线交于点G,若ZEFC=60°,连结GD,判断△AGD的形状并证明.图1图2图3练习三：25.（2009年抚顺市）已知：如图所示，肓•线MA〃励，ZMAB与上NBA的平分线交于点C,过点C作一条肓线/与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.（1）如图1所示，当直线2少直线MA垂直吋，猜想线段AD.BE、ABZ间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如
