7一元函数不定积分的换元法作者阿瓦姑艾尼瓦指导

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1、编号学士学位论文-元因数不走积分的换元法学生姓名：阿瓦姑・艾尼瓦学号:20060101012系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006—1班扌旨导教0帀：热米拉■克优木完成日期：2011年4月30日BACHELOR'STHESIS中文摘要不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为复杂的，如同数学屮一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳了打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开.而II利用宜接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必耍进一步研究不定积分的其它计算方法，rti复合函数的求导法则

2、可推得一种-

3、•分重要的积分方法——换元积分法（通常称为换元法）.该法可分为两类，即第一类和第二类换元法.关键词：一元函数；不定积分；换元法.BACHELOR'STHESIS中文摘要1引言11.换元积分法11」第一类换元积分法I1.2第二类换元积分法4121.3求三角函数/?(sinx,cosx)的不定积分8总结参考文献13致谢14引言换元积分法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法•其形式有两种.第一类换元法和第二换元法.第一类换元法是由g(U)的原函数而获得/(%)的原函数主要采取的方法便是“凑”的方法•第二换元法是已知于(X)有原函数而用来得到g(u)的原函数，它是第一换元

4、法的可逆过程.1.换元积分法定义：我们将把复合函数的求导法反过來用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基木积分表屮所已有的形式或原函数为已知的其它形式來求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法.1.1第一类换元积分法定理1:(第一类换元积分法)若函数u=(p{x)在[a,b]可导，且a<(p{x)

5、==f[(p{xy(px)第一•类换元积分法指出，求(1)式等号左端的不定积分，设^(x)=u则化为求不定积分p(u)du,若于0)存在原函数F(u),则^f(u)du=F(u)+c最后在将“=0(尢)代入上式等号的左，右两端，就得到所求的不定积分.J/[(pM^^dx=F[(p(x)]+c由于(px)dx=d(p{x),第一类换元积分法可表为：f[(pM](pXx)dx=J7[°(x)M0(x)g)=“fWu=F(u)+Cu=(p(x)F[(p(x)]+c•第一类换元积分法的一般步骤：若某积分可化为](px)dx的形式，且^f(u)du比较容易积分，那么可按下列方法和步

6、骤来计算所给积分.(1)凑微分：设法将积分变形为^f[(p{x)](px)dx的形式，从而可得：Jg⑴dx二]7[°(兀)]0(x)d"]7[0(兀)]d/(x)・(2)作变量代换：作变量代换u=(p(x),则du=(px)dx=d(p(x),从而将积分变为Jg(x)dx二^f[(p(x)](p,(x)dx=^f(u)clu并计算该积分.(3)将变量冋代：根据所作代换，用勿尢)替换积分结构中的u,从而求得结构得原积分的结果.即:Jg(x)dCx)=f(u)du=F(w)鳥⑴+c=F[(p(x)]+c注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法叫做凑微分法.例‘求不定

7、积分打+打—严Jl+yfu=2丿1+/+兀2+c例2:计算上各分析：对含？'项的积分，凑微分时需有？'项，而本题分子屮却没有。'项供凑微分使用，可考虑加一项减一项的代数变形.=-^x~dx=In”'-1卜x+c分析：本题为#如类型，需确定伉的表达式，显然已有乘积项』「应注意到严=兀解：卜“皿dx=je4r2・e[nxdx=•xdx=+p4vt/x2=-e^d^=-8J8JIntan—例4:计算［^dxJsinx分析：表面上看不能直接使用凑微分法，同时三角函数为倍角关系需统一角度，故应免先行化简.XXIntan—Intan—解:[—；——^dx=[dxsinx2sin-cos-2

8、2Intan—=f——jJ•XXsin—cos—22cos—Intan—Xtan—2z、Xtan—I2丿X2丿=-In2[tan22凑微分法是求不定积分小常用的方法，灵活性较大，有时需要用代数变换或三角变形，如用分项，减项，乘除同一因子，三角公式等方法，将被函数化为可用凑微分法类型求不定积分.1.2第二类换元积分法定理2：(第二类换元积分法)若函数x=(p(t)在［久0］可导，a<(p(t)