艾 布 瓦 法

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请对照图片内容，把错误的修改过来（图片不要删掉）。然后发邮箱：liongcq@ctbu.edu.cn，谢谢！艾布瓦法孙宏安(辽宁师范大学)艾布瓦法(MuhammadibnMuhammadibnibnibna1)公元940年6月10日生于布山(，今属伊朗)；公元997或998年卒于巴格达(今伊拉克首都)．数学，天文学．艾布瓦法具有波斯血统．他的出生地布山是现今伊朗霍腊散(Chorassan)地方的一个小城．公元959年，他离开放乡，来到东阿拉伯的首府巴格达．在巴格达，艾布瓦法成为数理天文学派的最后一位重要代表人物，该学派是在9世纪初形成的．艾布瓦法和他的同事们在巴格达天文台进行了系统的天文观测活动．他继承了阿拉伯数理天文学的传统，写出许多具有独创性的科学著作，同时还为欧几里得(Euclid)和丢番图(DioPhantus)的经典著作以及花拉子米(a1—)的代数学著作，做过注释．这些工作促进了东西方数学的交流，对古希腊数学文献的流传起了积极的作用．可惜的是，他的注释工作没有留传下来．艾布瓦法的数学成就主要在三角学方面：造出比较精确的三角函数表；提出并证明了正弦和差化积公式；证明球面三角形的正弦定理并用来解斜三角形等．他在算术、几何和代数方面亦有一些创新．下面以著作为序介绍他的成就． 1．《文书和商业用算术》(fmyahtajilayhalkuttbwa’l-min，英译名：Bookonwhatisnecessaryfromthescienceofarithmeticforscribesandbusinessmen)这是艾布瓦法于公元96l一976年之间写的一部实用算术著作．是一部得到广泛称道的书．该书分为7卷(manzil)，每卷7章(abwb)．前3卷是关于纯数学(比例、乘除、面积)的；后4卷是关于解实际问题的，包括工资支付、建筑结算、谷物兑换和销售等问题的解法．在这部书中，艾布瓦法系统地改进了东阿拉伯管理机构日常工作中所用的计算方法，指出了某些广泛存在的错误，例如当时的土地测量人员常用的以对边和之半的乘积来求四边形面积的算法．“为了不使书太厚并且不妨碍理解”，艾布瓦法的这部书中没有引人证明，不过，他在一些例子中定义了基本概念和术语，还定义了整数和分数的乘除运算． 该书指出，巴格达学者于8世纪就了解并很快开始运用印度人的10进位值制记数法和数字，但在很长时期内，在东阿拉伯的商业及一般居民中却没有应用它们．考虑到这部著作的主要读者群的习惯，艾布瓦法在书中没有采用印度数码．所有的数及其计算，即使十分复杂，也完全用当时的书面自然语言来表述．(1)分数计算艾布瓦法的分数计算是很有特色的，也是这部书的重要成果之一．在当时，形如m／n(m，n为整数，m＞1)的分数的计算，对专家以外的人来说是十分少见的．商人和其他业务人员长期应用他们的“基本分数”．按艾布瓦法的说法，基本分数分为三种：①由1／2到1／l0的单位分数，艾布瓦法称之为“主分数”(principalfractions)；②形如m／n(其中2)的分数，称为“混合分数”；③主分数的乘积．其中2／3占有重要的地位．主分数的特点是，在当时的阿拉伯语言中构成它们的词都有某种神秘的意义．所有形如m／n，I且，(P,Q,R,S为非负整数)的分数都可以表示为基本分数的和与积的展开形式． 艾布瓦法详细阐述了利用专门的规则和一些辅助性表格进行这种展开的方法．其中形如a／60的分数存展开运算中起重要的作用。先把分数m/n表示为形如的形式：其中k＜60，＜1，k为整数，然后分＝0和两种情况给出许多具体的展开方式．例如·通常由一个分数可得到几种不同的基本分数展开式，艾布瓦法规定了怎样的展开式更具一般性，或者用他的话说，“更美些”．如果一个既约分数的分母含有大于7的素因数，那么就可以得到一个有限的基本分数展开式．此时可得出下述类型的近似展开式 （1）或更好些，采用除了选择一个“恰当”的数同时加到分子分母上的技巧性方法之外，艾布瓦法还介绍了一种一般方法，人们利用它能够较快地得出一个好的近似，他采用形式的分数，如 ，（2）或者（3）式(1)，(2)，(3)的精确度依次提高，相对误差分别为26％，4％和0.05％．艾布瓦法还给出一个更精确的展开式他指出，其绝对误差为 相对误差小于0.001%。这些计算似乎有点像古埃及人的计算方法，其特点为：①限于几个单位分数，其中；②利用了分数乘积；③不拒绝使用混合分数，对这种方法的起源颇有争议，许多人认为其基本思想来源于古埃及人；M．梅德沃依(MeДOBOЙ)则认为，这是东阿拉伯入自己创造出来的．分数运算是通过基本分数进行的,如， (2)引入负数《文书和商业用算术》的第2卷中有一个十分重要的引入负数的例子，这是阿拉伯文献中关于负数的孤例．艾布瓦法用日常语言表述了由l0个数字演示的数的乘法规则，写成现代数学语言，就是(10a十b)(10a十c)＝{10a十b一[10(a十1)一(10a十c)}10(a十1)十10(a十1)一(10a十b)]·[10(a十1)一(10a十b)]，然后他对10位数上是0且b=3，c=5的数应用这一规则：35＝[3一(10—5)]10十[l0—3][l0—5]=(-2)10+35=35-20 艾布瓦法把上式中从3减去(10一5)的结果(一2)称为“欠(dayn)2”．这可能受到印度数学的影响．印度数学中就用欠(ksya)解释负数．(3)几何度量在《文书和商业用算术》的第3卷中，艾布瓦法给出了度量更一般的平面图形和立体图形的规则：三角形、各种四边形、正多边形、圆和圆的部分、球和球的部分等．他还列出一个对应于直径为7的半圆上的弧所对的弦长表，由半圆周的(m＝l，2，……22)组成．给出一个用圆内接正n边形的边长来求圆的直径的公式，用现代数学符号表示为艾布瓦法认为这一公式是印度人先得到的，当n=3,4,6时 它显然是正确的，而在n为其他值时它给出一个较好的近似．在第3卷之末，艾布瓦法还引入了在相似三角形基础上测量无法达到的对象的距离和高度的问题．2．《手艺人几何作图法》(Kitābfīmāyahtajilahyal-sāni‘minal-a‘māial-handasiyya英译名：Bookonwhatnecessaryfromgeometricconstructionfortheartisan)这是艾布瓦法于公元990年写的一部实用数学著作．书中的许多平面和立体图形的作图都是由欧几里得、阿基米德(Archime—des)、海伦(HeroofA1exandria)、西奥多休斯(Theodosius)和帕波斯(Pappus)的著作中摘录的．但也有些例子是独创的．作图问题的范围极广：由基本的平面作图题直到求作内接于一个给定球的正多面体．大多数届“尺规作图”题，也有一些要求增加工具(如倍立方和三等分角)，或只是近似作图(如利用圆内接正三角形的边长的一半为边，作同圆的内接正七边形)．十分重要的是所谓“生锈”圆规作图问题，即用一个固定开度的圆规(只能作出定半径的圆)的作图问题．这一问题也起源于古印度人和古希腊人，但艾 但艾布瓦法是利用“生锈”圆规解出大量作图题的第一个人．经过他的工作，“生锈”圆规作图问题正式列入数学课题之中．欧洲文艺复兴后，这种作图题得到深入而广泛的研究，L马斯凯罗尼(Ma’scheroni)，J．庞斯列(Poncelet)，J．施泰纳(Steiner)等人发展了关于它的一般理论和相应的作图法．艾布瓦法在这方面的一个例子是：用一个开度等于给定圆半径的“生锈”圆规，作这个给定圆的内接正五边形．3．《天文大全》(a1-Majistī或Kitābal-kāmil,英译名：CompIetebook)这是一部天文学著作，继承了托勒密(Ptolmy)的《天文学大成》(A1magest)的工作．一般认为，艾布瓦法对理论天文学没有引入任何实质上的新的东西．但他记录的大量观测资料为其后许多 天文学家所采用．这部著作的成就主要在三角学方面．(1)三角函数表艾布瓦法是第一个计算现代意义下的三角函数的人，经他改进的正弦表十分著名．为了制出新的正弦表，他比较精确地计算出sin30’的值．他的方法是：先求三个近似30’的弧的正弦值，例如，，，相差都是．它们的正弦值可由和通过一系列有理运算和开平方运算得出．例如等．他求出，进而采用赛翁(TheonofA1exandria)为帕波斯《天文学大成》作的注释中提出的定理：角的正弦值随角的增加而增加．他由此得出几个不等式并利用这些不等式得出，在一个半径为60的圆中，以60进位的数表示的sin30′的值为31′24″．这一值有4位正确数字。而5位正确数字的值为 艾布瓦法之前，一般采用托勒密的方法，在第3位上就出现错误．如果以10进位数表示，且取半径为1，则艾布瓦法的值为sin30’＝0．0087265373，而现代精确值为0．0087265355，艾布瓦法的值在位上还是正确的．在此基础上，他的三角函数表给出了每隔15′的正弦值、正切值和余切值．(2)正弦的和差化积公式这是艾布瓦法的另一项数学成就．他指出：“当两个弧的正弦和余弦已知时，可求出这两弦之和或差的正弦值．把每个正弦值乘以另一个弦的余弦值，则两弧的和的正弦等于这两个乘积之和，两弧的差的正弦等于两个乘积之差．”他还给出一个统一的证明．(3)“四量规则”这是艾布瓦法的一个球面三角学成果．在他之前，解球面三角形的主要工具是关于完全四边形的门纳劳斯(Menelaus)定理，在阿拉伯文献中称之为“六量规则”．这个定理在许多情况下的运用十分麻烦，艾布瓦法充实了球面三角学中的 解题工具，他应用正切定理来解球面三角形，其核心的工作是下述定理：如图l，如果ABG和ADE是两个球面直角三角形，其中B，D分别为直角，A是公共锐角，则sin(BG)：sin(GA)＝sin(DE):sin(EA)．按比鲁尼(a1—Bīrūnī)的说法，艾布瓦法证明了这个定理．在阿拉伯文献中，这个走理被称为“四量规则”．(4)球面三角形的正弦定理及其应用艾布瓦法是最早证明球面三角形的正弦定理的入之一，并且最先用这一定理来解球面三角形．这一定理表述为：如果ABG是一个球面三角 形。三边分别为a，b，g，且分别对应角A，B，G，则艾布瓦法的证明可用现代数学语言表述如下：如图2，给定球面三角形ABG，设GD是垂直于AB的大圆的弧，延长AB和AG得到AE和AZ，使之各成的弧．延长BA为BH，BG为BT，使之都成的弧。于是A是大圆EZ的极点，B是大圆TH的极点．因而角E，H都是直角，右旋三角形ADG和AEZ都是直角三角形，且它们有公共角A．按四量规则有但A，B分别为和的极点，由球面角的定义，＝∠A，＝∠B，所以上式可改写为两式中消去sin(DG)，得同理可证所以有 由于艾布瓦法的卓越数学成就，月球上有一座环形山以他的名字命名，以资纪念．