7. 一元函数不定积分的换元法 作者：阿瓦姑.艾尼瓦 指导老师：热米拉。克优木 评价：中

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文一元函数不定积分的换元法学生姓名：阿瓦姑·艾尼瓦学号：20060101012系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006—1班指导教师：热米拉·克优木完成日期：2011年4月30日14学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为复杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结

2、显然比打结难，有时甚至解不开.而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常称为换元法）.该法可分为两类，即第一类和第二类换元法.关键词：一元函数；不定积分；换元法.14学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要1引言11.换元积分法11.1第一类换元积分法11.2第二类换元积分法41.3求三角函数的不定积分8总结12参考文献13致谢1414学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言换元积分

3、法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法.其形式有两种.第一类换元法和第二换元法.第一类换元法是由的原函数而获得的原函数主要采取的方法便是“凑”的方法.第二换元法是已知有原函数而用来得到的原函数，它是第一换元法的可逆过程.1.换元积分法定义：我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其它形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法.1.1第一类换元积分法定理1:（第一类换元积分法）若函数在可导，且，有则函数存在原函数，即（1）证法只需证明

4、证明：由复合函数的求导法则，有第一类换元积分法指出，求（1）式等号左端的不定积分，设则化为求不定积分，若存在原函数，则=最后在将代入上式等号的左，右两端，就得到所求的不定积分.14学士学位论文BACHELOR’STHESIS由于，第一类换元积分法可表为:.第一类换元积分法的一般步骤：若某积分可化为的形式，且比较容易积分，那么可按下列方法和步骤来计算所给积分.（1）凑微分：设法将积分变形为的形式，从而可得：==.（2）作变量代换：作变量代换，则，从而将积分变为==并计算该积分.（3）将变量回代：根据所作代换，用替换积分结构中的，从

5、而求得结构得原积分的结果.即：.注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法叫做凑微分法.例1:求不定积分解:14学士学位论文BACHELOR’STHESIS例2:计算分析：对含项的积分，凑微分时需有项，而本题分子中却没有项供凑微分使用，可考虑加一项减一项的代数变形.解:例3:计算分析：本题为类型，需确定的表达式，显然已有乘积项，应注意到解:例4:计算分析：表面上看不能直接使用凑微分法，同时三角函数为倍角关系需统一角度，故应免先行化简.14学士学位论文BACHELOR’STHESIS解:凑微分法是求不定积分中常用的方

6、法，灵活性较大，有时需要用代数变换或三角变形，如用分项，减项，乘除同一因子，三角公式等方法，将被函数化为可用凑微分法类型求不定积分.1.2第二类换元积分法定理2：（第二类换元积分法）若函数在可导，，且,函数在有定义，，有则函数在存在原函数，且.证明：已知有，则函数存在可导的反函数由复合函数和反函数的求导法则，有第二类换元积分法指出，求式等号左端的不定积分，设，则化为求不定积分.若存在原函数，则最后将14学士学位论文BACHELOR’STHESIS代入上式等号右端，就得到所求的不定积分由于.第二类换元积分法可表为例5:求解:,则而

7、又令则所以例6:求14学士学位论文BACHELOR’STHESIS解:令则从而有例7:求解:令，则，   例8:求解:令,则原式14学士学位论文BACHELOR’STHESIS例9：求解：因为被积函数中出现了，也出现了，因此先作变量变换，，例10:求解：令，，14学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.3求三角函数的不定积分常常有多种方法，其中有一种是万能的，尽管这种方法不是最简便的.设有有显然，上式等号右端的被积函数是有理函数，因此三角函数存在被等函数的原函数.换元.称为关于的万能换元.例11:求解:设有，，14学士学

8、位论文BACHELOR’STHESIS例12:求解法1:解法2:14学士学位论文BACHELOR’STHESIS在某些特殊情形下，要会选择更方便的变量替换.例如：可令.可令.可令.例13:求解:本题属上述特殊情形（1）令,则有-例14:解：被积函数显然为的奇函数