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1、《圆锥曲线问题的探究与发现》教学设计浙江师范大学附屈中学王谦一、问题导入，引发探究师：我在旅游时买冋来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程屮的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析儿何知识，构造出这种有趣的现象吗？二、实验探究，交流发现探究1:卵之由来一圆的形成（1）单个定椭圆的形成椭圆的定义：平而内到两定点二、三的距离Z和等于常数（大于1%1）的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点F到两定点二、二的距离之和等于常数（大于1%1），则点匸的轨迹为以二、三为焦点的
2、椭圆。）思考如何使
3、2汁1则为定值？（不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段的延长线上取点二，使得I刊冃皿
4、,此时，l"l+IMI为定值则可转化为1°纠为定值。）思考2：若1°〃1为定值，则三点的轨迹是什么？定点上与三点轨迹的位置关系?（以定点二为圆心，1°创为半径的圆。由于1°纠＞21,则点三在圆内。）思考3：如何确定点戸的位置，使得H旧冃皿1?（线段的屮垂线与线段0&的交点为点o）揭示思路来源：（高中数学选修2-1P497）如图，PI・的半径为定长三，上是圆・内一个定点，三是圆上任意一点，线段山的垂直平分线/和半径。昌相交于点F,当点
5、三在圆上运动时，点F的轨迹是什么？为什么？（设圆二的半径为三，由椭圆定义，1"汁1必冃^°1十1丹冃3
6、=来（常数），且心刪，所以当点匸在圆周上运动时，点的轨迹是以％为焦点的椭圆。）图形计算器作图验证：以圆二与定点上所在直线为工轴，⑵屮垂线为轴建立直角处标系，设圆半径z,gE,即圆。:⑺奇十几化点，a）,则匸点轨迹L0；!*:J2抄将技£戏曲枝&标国"??«坐点可岂盘槌皺怎®*1：筋作(2)单个动椭圆的形成思考4：构造一种动椭I员I的方式(山于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长加=1°〃1为定值，则也要为定值，因此可将圆内点上取在圆「的同心圆°
7、"上，当点上在圆。"上动时，即可得到动椭圆。)图形计算器作图验证：当圆内动点三取在圆二的同心圆"5■羽rJ"上，运动点匸，即得到动椭圆。(3)两个椭圆的形成观察两个椭圆相互依偎旋转的儿个画而，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴/对称，且直线/过两椭圆公共点，所以直线/为两椭圆的公切线。因而找到公切线作椭圆三关于切线的对称椭圆三「即可。探究2：卵之所依——切线的判断与证明线段的垂肓平分线/与椭圆的位置关系(1)利川图形计算器中的“图彖分析''工具直观判断？与椭圆的位置关系.设関「上动点,则线段的中垂线的方程为*2*,将动点的横处标保存为变
8、量，纵坐标保存为变量弓，随着二点的改变，在Graphs中画出相应的动直线.用图形计算器小的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线与椭圆的交点，拖动点，动态观测交点个数的变化，发现无论点弓在何处，动总线与椭圆只有唯一一个交点门，因此判断直线'与椭圆相切，并可求岀该切点的朋标.也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数H具中的solve()求出方程组的解，从而判断根的情况.口$熬尊:：：：7：袁桔几何Hi9；—7:积:分08:曲茨►⑵证明椭圆三与直线/相切.卜心・4不妨设直线匚Z=,其中，加，与椭圆方程联立y=kx+b5x34^=45得4-9^-45
9、=0p
10、此・4》=180(9&-沪4■耳2-m—V-4将馬，加，宀"*岔代入上式，用“代数,，工具中的expand。化简式子，得A=°,所以椭圆与直线/相切，切点为F.2-/7T上.n•(w*200)a1m2in2-ib：.2n050-U2*ff2-400)1防《*丿36」历+2）2±J勿2-400・e+2200180・(9以$+£)0001厶制果域可盘比辅入域尢9勺12」13门（3）证明由任意圆：上的动点三和圆内一点上确定的椭圆三与线段中垂线？均相切（反证法）因为椭圆三是点P的轨迹，而点F是直线OB与线段M屮垂线/的交点，所以点F既在椭圆三上，
11、也在直线』上。因此，直线•'与椭圆至少有-•个公共点，即直线•'与椭圆相切或相交。假设总线？与椭圆相交，设另一个交点为F（F与匸不重合）.因为Fw*,所以
12、丹*冃刊
13、;又因为p“，所以为定值，而尸甲円1=尸甲1"1>
14、03,矛盾.因此直线）•椭圆相切。探究3：两卵相依——对称旋转椭圆的形成与动画上，作椭圆二关于切线J的対称椭当圆内动点三収在圆：的同心圆圆二，运动点二，隐藏相关处标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。改变一些问题条件，进行深入探究与发现。探究4：改变■二点位置，探究点F轨迹(1)曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖
15、动点三，当点上在定圆・内且不与圆心二重合时，交点F的轨迹是椭圆；当点三在定圆外时，则
16、
17、&卜交点匸的轨迹是双曲线；当点与圆心重合时，点F
