【精品】浅谈格林公式的应用

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1、格林公式及其若干应用孙瑜指导老师：魏瑛源（河西学院数学与应用数学专业2008届5班24号，甘肃张掖734000）摘要对格林公式及其它学科的儿种表现形式做了论述及证明，利用格林格林公式把二重积分化为曲线积分.关键词闭区域D；曲线积分；二重积分；格林公式中图分类号0172.21格林公式的内容格林公式是高等教学屮一个苦名的计算公式，它建立了曲线积分与二重积分之间的联系.它的条件，结论叙述如下：1.1单连通区域设Q为一平而或空间区域，对于Q内任意一条闭曲线，总可以在Q内连续的收缩成Q内一点则称Q为单连通区域，否则称Q是多连通区域.1.2格

2、林公式I设D是平血有界闭域，QD是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,P（x,y）,e（x,y）eC（Z＞）则dxdy其中QD+表示边界是正向,若厶是血的一•条封闭曲线，则厶定向如下：当人沿厶进行吋,使区域D在它的左边，或在厶上一点作-右手系标架［勺,勺］使勺指向L的外法线方向，则e2的指向即为厶的方向.1.3格林公式II设D是平面有界闭域，0D是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线(dQ8P}1dxdy丿戶(兀,y),Q(兀,y)wc(z>)则dxdyJ[pcos〈〃,x)+Qcos〈m,=jjoD+D〃为边界曲线的外法

3、线方向.1.4外微分把被积表达式血中是函数（如P.Q）换成它的微分，化简时，凡出现两个dx（dy或dz）的项规定为零,凡交换dx与心位置（或dy与dz或dz与dx）时规定该项变号，这样所得的式子称为e的外微分，记作dco.格林公式可表达如下：被积表达式e在区域边界上的积分等于它的外微分在区域上的积分，即=^dcoD边界止向规定同上.2二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论.把二重积分^f（x,y）dxdy转化为曲线积分，关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函D数戶（兀,

4、歹）,0（兀,刃,使笋歎心）CX0'在D±tfi成立.2.1定理为此,我们有下面的设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数/（兀,刃在Q上具有一阶连续倒数Hk^x-^—+k，2y—=(x,y),k、+k-,+心H0dxdy\f^y)dxdy=-一-1~~j/(AyXk^dy-k2ydx)D心+心+心其中厂取》的正向边界曲线.证令P=-k2yf(x.y),Q=kyxf(x,y),于是=kAf(x,y)+kix^-=-k2f(x,y)-k2y^-f学cyoyox=(k+k2)f(x,y)+=伙i+焉+k3)f(x,y),(x,y)eD

5、.由格林公式得yk{xdy-k2ydx)=+k2+k3)(x.y)dxdy,*D从而y)dxdy=-~半~£f{x,ykxxdy一k.ydx)•DK]+K24-K32.2推论设闭区域D由分段光滑曲线厶围成，函数f(x,y)在D上具有一阶连续偏导数.则(i)当X堂=ltf(x,y)且R+IhO时,dx口7(兀，y)dxdy=厂(兀,y)dy；dk+1(ii)当y—=kf(x,y)且R+1h0时,Sy\f(x.y)dxdy=—-^—(^yf(x,y)dx；D*+1^fx,y)dxdy=札/(x,yxdy-ydx)；D2(i

6、v)当3堂+3堂=05.山+他工0时,dx「dy,y)dxdy=打§丿(兀y)伙］-k2ydx),D心+心“其中厶取£＞的止方向边界曲线.3格林公式的应用3.1格林公式在流休力学及其他学科中有如下几种变型：⑵J』兰+迤dxdy丿dPdQdxdy=(Pdy-Qdx+-dxdy=才[Pcos(x,n)+Qsin(兀，司0sdxdy丿其中斤为曲线L的外法线方向.⑶^uclxdy=D肿曲=-!底計黔）址+舟談(5)Jj(vAw一uv)d^dy=(W#一"宁)ds证明:d8xdy(1)在公式口(攀-甞)血=§Pdx+Qdy中,令P=—

7、0,Q=P^则冇口（¥+警皿心={（片心一©如d°x"y再将下标去掉，即得.所以原式成立.（2）山平而曲线上两类曲线积分之间的如下联系式：（Pdx+Qdy=^（Pcosx+geos卩）ds①其中a（兀,y）,0（兀,y）为有向曲线弧L上点（兀,y）处的切线向量的方向角.所以①式也可写成Pdx+Qcly=((Pcosa+Qsina)〃$即{dx=cosads图1dy=sinads因为L为封闭曲线，取丘为曲线弧L上点（x,y）处的法线方向，如图1：..Jcos=-sina•（sina=cosa.idx=-sinads••dy=cos

8、ads再由⑴z结论，可得jj(——+——)dxdy=§Pdy-Qdx=§[Pcosa+Qsina}ls=^[[^cos(兀，方)+Qsin(x,n)lsd°xdy所以原式成立•此等式也可以看成是高斯公式的平面形式之一.KH'—表示函数u在曲线L上