“函数概念和性质”教学的研究李梁

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1、专题讲座高中数学“函数的概念与性质”教学研究李梁北京市西城区教育研修学院函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量Z间依赖关系的重要数学模型.木专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析打解决策略；学生学习目标检测分析.研究函数问题通常冇两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究儿种具体的基本初等函数一一二次函数、指数函数、对数函数、幕函数.研究函数的问题主耍围绕以下儿个方而：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等.一、关于函数内容的深层理解（-）函数概念的发展史简述数学史角度：早

2、期函数概念（Descartes,1596-1650引入坐标系创立解析几何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）［几何角度］:Newton,1642—1727,用数流來定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz,1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号/W,并称变量的函数是一个解析表达式［代数角度］;Dirichlet,1805—1859提是工少FZ间的一种对应的观点［对应关系角度］;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”來定义函数［集合论角度］.Dirichlet：认为怎

3、样去建立工与hZ间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，扌rtill："对于在某区间上的每一个确定的工值，•丁都有一个确定的值，那么丁叫做工的函数这种函数的定义，避免了以往函数定义中所冇的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）.Veblen,1880-1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也口J以是其它对彖.（-）初高中函数概念的区别与联系1.初中函数概念:设在某个变化过程中有两个变量*•护，如果对于兰在某个范围内的每一个值，：

4、•都有唯一的值与它对应，我们就说h是工的函数，二叫自变量，匸叫工的函数.1.高中函数概念：（1）设B是两个非空集合，如果按照某种对应法则力对&中的任意一个元素X,在B中有一个且仅有一个元素）/与x对应,则称/是集合4到集合B的映射.记作，其中工叫原象，匸叫象.（2）设集合A是一个非空的数集，对A屮的任意数X,按照确定的法则办都有唯-确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合人上的一个函数.记作其屮X叫做自变最，自变最取值的范I韦I（数集&）叫做这个函数的定义域.所侑函数值构成的集合仙网叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.（3）函

5、数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每-•个元索都有原象.构成函数的三要素：定义城，值域和对应法则，其屮定义域和对应法则是核心.（三）函数在整个数学知识体系中的地位及作用函数是中学数学最重要的基木概念Z—,其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射;函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前血学习的集合知识做了巩固和发展，而口它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中冇广泛的应川

6、；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.（四）函数的概念与性质结构框图（五）函数的概念与性质教学重点和难点教学重点：1.函数的概念2.函数的基本性质3.基本初等函数的图象和性质教学难点:1.函数概念的理解2.对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握3.运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题二、函数概念与性质的教学建议：（一）如何深入把握函数的概念？1.映射与函数的教学建议：教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故木部分内容宜采用教师引导,师牛共同研讨的方式來学习.在教学中，教师可以类似举

7、如下的例子进行剖析：例1：设集合三和三都是自然数集合尺・映射虫把集合三中的元素工映射到集合匸小的元素?+Xf则在映射了作用下,2的象是；20的原象是•分析：由已知，在映射『作用下工的彖为2^+*所以，2的象是公+2=6；设彖20的原彖为工，则*的象为20,即2r+x=2O.由于xeK,J+jt随着兰的增大而增大，又2*十4=20,所以20的原彖是4.这个例了要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元索的彖与原彖.能够冇效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度•同时，题冃中兼顾对于函数》=才+奠性质的探究，具有一定的综合程度

8、.2.函数的定义域问题：确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的収俏集合.教学中，教师可通过类