2020高考数学刷题首选卷 考点测试28 平面向量的数量积及应用 理(含解析)

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1、考点测试28 平面向量的数量积及应用高考概览考纲研读1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1.已知向量a=(-2,-1),b=(m,1),m∈R,若a⊥b,则m的值为(  )A.-B.C.2D.-2答案 A解析 由a⊥b,得a·b=0,即-2m-1=0,则m=-.故选A.2.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=(  )A.-B.0C

2、.D.3答案 A解析 依题意有a·b+b·c+c·a=1×1×-+1×1×-+1×1×-=-.故选A.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于(  )A.-16B.-8C.8D.16答案 D解析 因为cosA=,故·=

3、

4、

5、

6、cosA=

7、

8、2=16.故选D.4.已知

9、a

10、=6,

11、b

12、=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为(  )A.12B.8C.-8D.2答案 A解析 ∵

13、a

14、cos〈a,b〉=4,

15、b

16、=3,∴a·b=

17、a

18、

19、b

20、·cos〈a,b〉=3×4=12.故选A.5.平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形A

21、BCD是(  )A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形答案 C解析 因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.故选C.6.已知向量a=(2,7),b=(x,-3),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围为(  )A.x

22、1+2e2的夹角为(  )A.30°B.60°C.90°D.120°答案 B解析 依题意,有e1·e2=cos60°=,则cos〈a,b〉=====,故〈a,b〉=60°,故选B.8.已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的中点,则·+·=________.答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系.可得A(2,0),B(0,2),P(1,1),C(0,0),则·+·=(1,1)·(0,2)+(1,1)·(2,0)=2+2=4.二、高考小题9.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足

23、a

24、=1,a·b=-1,则a

25、·(2a-b)=(  )A.4B.3C.2D.0答案 B解析 因为a·(2a-b)=2a2-a·b=2

26、a

27、2-(-1)=2+1=3.故选B.10.(2018·天津高考)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为(  )A.B.C.D.3答案 A解析 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,,C(0,),令E(0,t),t∈[0,],∴·=(-1,t)·-,t-=t2-t+,∵t∈[0,],∴当t=-

28、=时,·取得最小值,(·)min=-×+=.故选A.解法二:令=λ(0≤λ≤1),由已知可得DC=,∵=+λ,∴=+=++λ,∴·=(+λ)·(++λ)=·+

29、

30、2+λ·+λ2

31、

32、2=3λ2-λ+.当λ=-=时,·取得最小值.故选A.11.(2018·浙江高考)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则

33、a-b

34、的最小值是(  )A.-1B.+1C.2D.2-答案 A解析 设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹

35、角为,∴点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,∴

36、a-b

37、的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x≥0)的距离减去圆的半径,所以

38、a-b

39、min=-1.故选A.12.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(  )A.-2B.-C.-D.-1答案 B解析 解法一:设BC的中点为D,AD的中点为E,

40、则有+=2,则·(+)=2·=2(+)·(-)=2(2-2).而2=2=,当P与E重合时,2有最小值0,故此

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