2020高考数学刷题首选卷考点测试28平面向量的数量积及应用理（含解析）

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1、考点测试28　平面向量的数量积及应用高考概览考纲研读1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m，1)，m∈R，若a⊥b，则m的值为(　　)A．－B．C．2D．－2答案　A解析　由a⊥b，得a·b＝0，即－2m－1＝0，则m＝－．故选A．2．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)A．－B．0C．D．3答案　A解

2、析　依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×－＋1×1×－＋1×1×－＝－．故选A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16答案　D解析　因为cosA＝，故·＝

3、

4、

5、

6、cosA＝

7、

8、2＝16．故选D．4．已知

9、a

10、＝6，

11、b

12、＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)A．12B．8C．－8D．2答案　A解析　∵

13、a

14、cos〈a，b〉＝4，

15、b

16、＝3，∴a·b＝

17、a

18、

19、b

20、·cos〈a，b〉＝3×4＝12．故选A．5．平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)A．矩形B．正方形C

21、．菱形D．梯形答案　C解析　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C．6．已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为(　　)A．x

22、°D．120°答案　B解析　依题意，有e1·e2＝cos60°＝，则cos〈a，b〉＝＝＝＝＝，故〈a，b〉＝60°，故选B．8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________．答案　4解析　由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2，0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，则·＋·＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足

23、a

24、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4B．3C．2D．0答案　B解析　因为a·(

25、2a－b)＝2a2－a·b＝2

26、a

27、2－(－1)＝2＋1＝3．故选B．10．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)A．B．C．D．3答案　A解析　解法一：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B，，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴·＝(－1，t)·－，t－＝t2－t＋，∵t∈[0，]，∴当t＝－＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝．故选A．解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可

28、得DC＝，∵＝＋λ，∴＝＋＝＋＋λ，∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋

29、

30、2＋λ·＋λ2

31、

32、2＝3λ2－λ＋．当λ＝－＝时，·取得最小值．故选A．11．(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则

33、a－b

34、的最小值是(　　)A．－1B．＋1C．2D．2－答案　A解析　设＝a，＝b，＝e，以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0)．不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为，∴点A在从原点出发，倾斜角为，且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2

35、＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即点B在圆(x－2)2＋y2＝1上运动．而＝a－b，∴

36、a－b

37、的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2，0)到射线y＝x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以

38、a－b

39、min＝－1．故选A．12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2B．－C．－D．－1答案　B解析　解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝2＝，当P与E重合时，2有最小值0，故此