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时间:2019-11-14
《2020高考数学一轮复习 课时作业51 椭圆 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业51 椭圆[基础达标]一、选择题1.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( )A.+y2=1B.+=1C.+y2=1或+=1D.以上答案都不对解析:直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,∴a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,b=2,c=1,∴a2=5,所求椭圆的标准方程为+=1.答案:C2.[2019·武汉高中调研]曲线C1:+=1与曲线C2:+=1(02、为09-k>0,所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a2,短半轴长为b2,半焦距为c2,则c=a-b=25-k-(9-k)=16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c1,则c=a-b=25-9=16,所以曲线C1和曲线C2的焦距相等,故选D.答案:D3.[2019·湖北中学联考]已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )A.B.1C.D.解析:不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F23、的横坐标代入椭圆方程+=1中,可得A点纵坐标为,故4、AB5、=3,所以内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).故选D.一题多解 由椭圆的通径公式得6、AB7、==3,则S△ABF1=×2×3=3,又易得△ABF1的周长C=4a=8,则由S△ABF1=C·r可得r=.故选D.答案:D4.[2019·石家庄质量检测]倾斜角为的直线经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且=2,则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析:由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得,∴(b2+a2)y2+2b2cy-b8、4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,又=2,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),∴-y1=2y2,可得,∴=,∴e=,故选B.答案:B5.[2019·陕西西安八校联考]某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析:依题意得,题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形,设其直角边长为a,则斜边长为a,圆锥的底面半径为a、母线长为a,因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a,其离心率e==,选C.答案9、:C二、填空题6.椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B,则椭圆的离心率为________.解析:以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B,则⊥,所以·=0,=(c,b),=(-a,b),所以·=b2-ac=0,即a2-c2-ac=0.两边同除以a2,得e2+e-1=0,所以e=.答案:7.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2,则椭圆C的方程是______________.解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=110、.答案:+=18.[2019·山西月考]设F1、F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为______________.解析:∵△F2AB是面积为4的等边三角形,∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可求得11、F1A12、=13、F1B14、=.又15、F1F216、=2c,∠F1F2A=30°,∴=×2c ①.又S△F2AB=×2c×=4 ②,a2=b2+c2 ③,由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,∴椭圆C的方程为+=1.答案:+=1三、解答题9.[2017、19·贵州适应性考试]设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的右、右焦点,E的离心率为,点(0,1)是E上一点.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,且=2,求直线BF2的方程.解析:(1)由题意知,b=1,且e2===,解得a2=2,所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,故可设直线AB的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2-2my-1=0,则y1+y2=,①y1y2=-,②因为F1(-1,0),所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y18、1),由=2可得,-y2=2y1,③由①②③可得B,则kBF2=或-,所以直线BF2的方程为y
2、为09-k>0,所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a2,短半轴长为b2,半焦距为c2,则c=a-b=25-k-(9-k)=16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c1,则c=a-b=25-9=16,所以曲线C1和曲线C2的焦距相等,故选D.答案:D3.[2019·湖北中学联考]已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )A.B.1C.D.解析:不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2
3、的横坐标代入椭圆方程+=1中,可得A点纵坐标为,故
4、AB
5、=3,所以内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).故选D.一题多解 由椭圆的通径公式得
6、AB
7、==3,则S△ABF1=×2×3=3,又易得△ABF1的周长C=4a=8,则由S△ABF1=C·r可得r=.故选D.答案:D4.[2019·石家庄质量检测]倾斜角为的直线经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且=2,则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析:由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得,∴(b2+a2)y2+2b2cy-b
8、4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,又=2,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),∴-y1=2y2,可得,∴=,∴e=,故选B.答案:B5.[2019·陕西西安八校联考]某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析:依题意得,题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形,设其直角边长为a,则斜边长为a,圆锥的底面半径为a、母线长为a,因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a,其离心率e==,选C.答案
9、:C二、填空题6.椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B,则椭圆的离心率为________.解析:以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B,则⊥,所以·=0,=(c,b),=(-a,b),所以·=b2-ac=0,即a2-c2-ac=0.两边同除以a2,得e2+e-1=0,所以e=.答案:7.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2,则椭圆C的方程是______________.解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1
10、.答案:+=18.[2019·山西月考]设F1、F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为______________.解析:∵△F2AB是面积为4的等边三角形,∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可求得
11、F1A
12、=
13、F1B
14、=.又
15、F1F2
16、=2c,∠F1F2A=30°,∴=×2c ①.又S△F2AB=×2c×=4 ②,a2=b2+c2 ③,由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,∴椭圆C的方程为+=1.答案:+=1三、解答题9.[20
17、19·贵州适应性考试]设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的右、右焦点,E的离心率为,点(0,1)是E上一点.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,且=2,求直线BF2的方程.解析:(1)由题意知,b=1,且e2===,解得a2=2,所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,故可设直线AB的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2-2my-1=0,则y1+y2=,①y1y2=-,②因为F1(-1,0),所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y
18、1),由=2可得,-y2=2y1,③由①②③可得B,则kBF2=或-,所以直线BF2的方程为y
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