2020高考数学一轮复习 课时作业25 平面向量的概念及其线性运算 理

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1、课时作业25　平面向量的概念及其线性运算[基础达标]一、选择题1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)A．共线　　　　　　　　　　B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D2．[2019·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是(　　)A.＋＝B.＝＋C.－＝D．2＋＝解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为＋＝2；B错，应为＋＝＋＝；C错，应为＝＋；D正确，2＋＝＋＝，故选D.答案：D3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为(　　)A．3e2－e1

2、B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2.答案：C4．[2019·石家庄检测]在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.答案：B5．如图，已知四边形ABCD是梯形，E，F分别是腰的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b，则＝(　　)A．－a－bB.a＋bC.a＋bD.a－b解析：∵＝(＋)＝＝a＝－＝－b，∴＝＋＋＝＋－＝a－

3、b－×a＝a－b.答案：D二、填空题6．给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是

4、a

5、＝

6、b

7、且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵＝，∴

8、

9、＝

10、

11、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

12、

13、＝

14、

15、，因此，＝.③不正确．当a∥b且方向相反

16、时，即使

17、a

18、＝

19、b

20、，也不能得到a＝b，故

21、a

22、＝

23、b

24、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

25、－

26、＝

27、＋－2

28、，则△ABC的形状为________．解析：＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，所以

29、＋

30、＝

31、－

32、.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所

33、以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.答案：三、解答题9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解析：＝(＋)＝a＋b.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.10．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解析：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴＝2，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知＝e1－4e2，

34、且＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得，解得k＝12，∴k＝12.[能力挑战]11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．答案：A12．[2019·清华大学自主招生能力测试]O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△OBC和△ABC的面积比＝________.解析：如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则＋＝2，∴＋＋2＝2＋2＝0，即＋＝0，∴

35、点O为线段MC的中点，则S△OBC＝S△MBC＝S△ABC，所以＝.答案：13．[2019·河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．解析：连接AD.因为2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.因为D、M、N三点共线，所以存在x∈R，使＝x＋(1－x)，则＝xλ＋(1－x)μ，所以xλ＋(1－x)·μ＝＋，