《正余弦定理复习》PPT课件

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1、正弦定理、余弦定理1．正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理内容a2＝，b2＝，c2＝．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；(其中R是△ABC外接圆的半径)③a∶b∶c＝；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosA＝；cosB＝；cosC＝.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC解决解斜三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他

2、两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图　形关系式a＝bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解△ABC中的常用结论①A+B+C=②A、B、C成等差数列的充要条件是B＝60°；③S△=④a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；【知识拓展】⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解⇔(A＋B)有解⇔0cos(π－B)

3、⇔cosA>－cosB⇔cosA＋cosB>0.因此判断C是否有解，只需考虑cosA＋cosB的符号即可．(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，cos＝sin.(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边．1．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2＝(b＋c)2－bc，则A的大小等于________．解析：根据余弦定理得cosA＝，∴A＝答案：2．(2010·东台中学高三诊断)若△ABC的三个内角A

4、、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于________．答案：60°3．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝2，则此三角形有________个解．解析：∵A＝60°，c＝4，a＝2，∴由正弦定理得：，即∴sinC＝1.又∵0°

5、B.因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形4．5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则该三角形的形状是________．解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，由sinA，sinB，sinC成等比数列得sin2B＝sinAsinC，所以由正弦定理得b2＝ac.⇒a＝c，所以a＝b＝c，所以三角形是等边三角形．答案：等边三角形【例1】已知△ABC中，si

6、nA∶sinB∶sinC＝，求最大角．思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大，然后运用余弦定理求解．解：由正弦定理，知＝2R，∴a∶b∶c＝不妨设a＝＋1，b＝－1，c＝，由在三角形中大边对大角知，∠C最大．由余弦定理，知cosC＝，∴∠C＝120°.变式1：已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶＋1)，求△ABC中的各角的大小．解：设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosA＝∴A＝45°.同理可得cosB＝，B＝60°.∴C＝180°－(A＋B)＝75°.这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为

7、角或者边的简单关系式，进而进行判断．【例2】在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可．解：由lga－lgc＝lgsinB＝lg，得sinB＝，又B为锐角，∴B＝45°.同时，∴.∴sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC，∴cosC＝0，所以C＝90°.故此三角形为等腰直角三角形．变式2：在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·cosB，那么△ABC的形状是________．解析：由sinC＝2sin(B＋C)cos