2019届高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 课时跟踪训练28 平面向量的综合应用 文

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1、课时跟踪训练(二十八)平面向量的综合应用[基础巩固]一、选择题1．(2018·银川调研)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形[解析]　由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.[答案]　C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150

2、°[解析]　解法一：设向量a，b的夹角为θ，＝－＝2a＋b－2a＝b，∴

3、

4、＝

5、b

6、＝2，

7、

8、＝2

9、a

10、＝2，∴

11、a

12、＝1，2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，θ＝120°.解法二：＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.[答案]　C3．(2017·云南省高三统一检测)在▱ABCD中，

13、

14、＝8，

15、

16、＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)A．48B．36C．24D．12[解析]　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－

17、×62＝24，故选C.[答案]　C4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　)A.B.C．2D.[解析]　设角A，B，C的对边分别为a，b，c.·＝1，即accosB＝－1.在△ABC中，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即a＝.[答案]　A5．(2018·河南郑州七校联考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)A.B．2C．5D．10[解析]　依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形A

18、BCD的面积为

19、

20、·

21、

22、＝××＝5.[答案]　C6．(2018·福建高三质检)△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ).若·＝－2，则λ＝(　　)A.B.C.D．2[解析]　以点A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知B(2,0)，C(0,1)，P(2λ，0)，Q(0,1－λ)，＝(－2,1－λ)，＝(2λ，－1)．∵·＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝，故选A.[答案]　A二、填空题7．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋

23、)，则与的夹角为________．[解析]　由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即与的夹角为90°.[答案]　90°8．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则

24、2a－b

25、的最大值与最小值的和为________．[解析]　由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则

26、2a－b

27、＝＝＝∈[0,4]，所以

28、2a－b

29、的最大值与最小值的和为4.[答案]　49．(2018·湖北襄阳优质高中联考)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点

30、F在边CD上，若·＝，则·的值是________．[解析]　如图，以A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)．设F(m,2)，0≤m≤，由·＝(m,2)·(，0)＝m＝，得m＝1，则F(1,2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.[答案]　三、解答题10．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，＝(2,2)，且与的夹角为，·＝2.(1)求点D的坐标；(2)当m为何值时，＋m与垂直．[解]　(1)设C(x，y)，D(m，n)，则＝

31、(x＋1，y－2)．∵与的夹角为，·＝2.∴＝＝，化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①又·＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②联立①②解得或又点C在第二象限，∴C(－1,3)．又＝，∴(m＋1，n－3)＝(－2，－2)，解得m＝－3，n＝1.∴D(－3,1)．(2)由(1)可知＝(0,1)，∴＋m＝(2m,2m＋1)，＝－＝(－2，－1)．∵＋m与垂直，∴(＋m)·＝－4m－(2m＋1)＝0，解得m＝－.[能力提升]11．在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)A．等边三

32、角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形[解析]　因为，分别为，方向上的单位向量，故由·＝0可得BC⊥AM(M是∠BAC的平分线与BC的交点)，所以△ABC是以BC为底边的等腰三角形，又·＝，所以∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形．[答案]　A12．(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接