2018年高中数学 第1章 计数原理 1.4 计数应用题教学案 苏教版选修2-3

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1、1.4计数应用题　　[例1]　3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？[思路点拨]　本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法．[精解详析]　(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排

2、成一排有A种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A种不同的排法，因此共有A·A＝4320种不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法，因此共有A·A＝14400种不同的排法．(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能

3、排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A种排法，所以共有A·A＝14400种不同的排法．法二：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14400种不同的排法．法三：(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A种不同的排

4、法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14400种不同的排法．(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法．因此共有A·A＋A·A·A＝36000种不同的排法．法二：3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A·A种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36000种不同的排法．(5)(顺序固定问题)因为8人排队，

5、其中两人顺序固定，共有＝20160种不同的排法．[一点通]　(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将

6、不相邻元素排入形成的空位中．1．(四川高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种．故不同的排法共有A＋CA＝9×24＝216种．答案：2162．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种．解析：符合题意的五位数有ACA＝2×3×3×2＝36.答案：363．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、

7、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类；①第一节课排数学，第六节课排体育，共有A种排法；②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有AA种排法；③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有AA种排法；④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有AA种排法．由分类加法计数原理，所求的不同排法共有A＋2AA＋AA＝504(种)．法二：(排除法)不考虑受限条件下的排法有A种，其中包括数学课在第六节的排法有A种，体育课在第一节的排法有A种，但上面两种排法中同时含

8、有数学课在第六节，体育课在第一节的情形有A种．故所求的不同排法有A－2A＋A＝504(种).　　[例2]　某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2