2019年高中数学 模块学习评价 苏教版选修4-2

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1、2019年高中数学模块学习评价苏教版选修4-21．已知矩阵M＝，求矩阵M的特征值与特征向量．【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ＋2，令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2，将λ1＝1代入二元一次方程组解得x＝0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为.2．已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1,1)，D′(－1，－1)．(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C′的坐标．【解】　设

2、M＝，则有＝，＝，所以解得所以M＝.(2)由＝，得C′(－3,3)．由＝，得D(1，－1)．3．设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．【解】　①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由＝＝，得又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为a>1，所以②由①知，A＝，A2＝＝.所以

3、

4、A2

5、＝1，(A2)－1＝.4．已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.【解】　∵A＝，∴A2＝＝设α＝，则A2α＝β⇔＝⇔＝∴，∴∴a＝.5．曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M－1.【解】　(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，即得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，及方程x2＋

6、4xy＋2y2＝1，从而解得a＝2，b＝0.(2)因为M的行列式为＝1≠0，M－1＝＝.6．已知矩阵M＝，向量α＝，求M3α的值．【解】　矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4)．令f(λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特征值λ1＝4的一个特征向量为，属于λ2＝－2的一个特征向量为.令α＝＝m＋n，则m＝，n＝，即＝×＋×，所以M3α＝43××＋(－2)3××＝.7．利用矩阵解二元一次方程组【解】　方程组可写为＝，系数行列式为3×2－4×1＝2，方程组有唯一解．利用矩阵求逆公

7、式得－1＝因此原方程组的解为＝＝即8．密码学是关于信息编码和解码的理论，其中经常用到矩阵知识，首先建立如下对应关系：A　B　C　…　Y　Z↨　↨　↨　　↨　↨1　2　3　…　25　26取矩阵A＝.(1)将Good进行编码；(2)将93,36,60,21恢复成原来的信息．【解】　(1)Good的编码为7,15,15,4.(2)∵det(A)＝5×1－3×2＝－1，∴A－1＝，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A－1＝＝，A－1＝＝.∴密码恢复成编码15,6,3,15，即得到原来的信息OFCO.9．已知矩阵M＝，β＝.(1)求M的特征值和特

8、征向量；(2)计算M4β，M10β，M100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？【解】　(1)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)．令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.∴属于λ1＝1的一个特征向量α1＝，属于λ2＝2的一个特征向量α2＝.(2)令β＝mα1＋nα2，则有m＋n＝，∴m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2.∴M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝，同理可得M10β＝，M100β＝.(3)当n→＋∞时，可近似认为Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.1

9、0．自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等．因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系．但是如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式其中a1＝1，b1＝7，试分析10个时段后，这两个种群的数量变化趋势．【解】　由题意知＝，令M＝，则f(λ)＝＝(λ－1)(λ－4)．令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为，.设α＝＝，则α＝3＋(－2)，则M10α＝3×410×＋(－2)

10、×110×＝≈.照此发展下去，两个种群的数量趋于均衡．