2019年高中数学 1.1 3 三个正数的算术 几何平均不等式课后知能检测 新人教A版选修4-5

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1、2019年高中数学1.13三个正数的算术几何平均不等式课后知能检测新人教A版选修4-5一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是(　　)A．(－∞，lg6]　　　B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)【解析】　∵6＝x＋y＋z≥3，∴xyz≤8.∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.【答案】　B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　)A．nnB．2nC．n2D．2n＋1【解析】　，要使和式

2、的积为定值，则必须nn＝a，故选A.【答案】　A3．设0

3、＋z2与的大小关系为________．【解析】　∵(x＋y＋z)2＝1，∴x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝1，又2(xy＋yz＋zx)≤2(x2＋y2＋z2)，∴3(x2＋y2＋z2)≥1，则x2＋y2＋z2≥.【答案】　x2＋y2＋z2≥6．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.其中正确的不等式序号是________．【解析】　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3，0

4、≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．【答案】　①②③三、解答题7．(1)求函数y＝x2＋(x＞0)的最小值；(2)求函数y＝x2(a－x)(x＞0，a为大于x的常数)的最大值．【解】　(1)∵x＞0，＝＋＞0，且x2··＝(定值)，∴y＝x2＋＝x2＋＋≥3＝3＝.当且仅当x2＝，即x＝时，等号成立，∴y最小值＝.(2)∵x＞0，a＞x且＋＋(a－x)＝a(常数)，∴y＝x2(a－x)＝4·[··(a－x)]≤4·[]3＝4×＝a3，当且仅当＝a－x，即x＝a时等号成立，∴y最大值＝a3.8．已知a，b，c均为正数，证明a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，

5、并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】　因为a，b，c均为正数，由算术－几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－.所以(＋＋)2≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．9．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，求点P到这个三角形三边距离乘积的最大值．【解】　设P到三角形三边距离分别为h1、h2

6、、h3，又∵三角形为直角三角形，S＝·3·4＝6.∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6.∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3.∴h1h2h3≤＝.因此点P到这个三角形三边距离乘积的最大值为.教师备选10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．【解】　设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，由图可有2h＋x＝，∴h＝(1－x)，V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)＝9×××(1－x)≤9×()3＝.当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．所

7、以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.