2018-2019高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式复习学案 新人教A版选修4-5

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1、第三讲柯西不等式与排序不等式一、知识梳理二、题型、技巧归纳题型一、利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．例1已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.[再练一题]1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥.题型二、排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．例2已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋.[再练一题]2．设a，b，c∈R＋，求证：a5

2、＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．例3　设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．[再练一题]3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.三、随堂检测1．已知关于x的不等式

3、x＋a

4、

5、20，b>0，c>0，函数f(x)＝

6、x

7、＋a

8、＋

9、x－b

10、＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．3．已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是(　　)A．2　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D．44．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)A．2B.C．6D．125．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项参考答案1.【解】　(1)由

11、x＋a

12、

13、)max＝4.2.【解】　(1)因为f(x)＝

14、x＋a

15、＋

16、x－b

17、＋c≥

18、(x＋a)－(x－b)

19、＋c＝

20、a＋b

21、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以

22、a＋b

23、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.3.【解析】　∵4＝lgx＋lgy≥2，∴lgx·lgy≤4.【答案】　D4.【解析】　(＋)2＝(1×＋1×)2≤

24、(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．故选D.【答案】　D5.【解析】　an＝＝≤＝，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．又n∈N＋，检验可知选D.【答案】　D