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《2018-2019高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1
2、＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线⇒l⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内．(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2
3、，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．判断下面结论的对错：1．AP⊥AB；(√)2．AP⊥AD.(√)3.是平面ABCD的法向量．(√)4.∥.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱AB
4、C－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明 设AB的中点为O，连结OC，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1，∵M为BC的中点，∴M.∴＝，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在
5、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，AC，BC，C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，∴＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，∴·＝0，∴AC⊥BC1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
6、BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1，1)．＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.·＝(－1，－1,1)·(－2,
7、2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1⊂平面B1AC，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.方法二 设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，∵＝＋＝a＋b，∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(
8、b
9、2－
10、a
11、2＋0＋0)＝0.∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)基向量法：①
12、设出基向量，然后表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示；③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示；②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面
