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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.2 空间线面关系的判定（二）垂直关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3．2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系[学习目标] 1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．知识点 空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R设
2、平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0思考 1．用向量法如何证明线面垂直？答案 证直线的方向向量与平面的法向量平行．2．平面α上的向量a与平面β上的向量b垂直，能判断α⊥β吗？答案 不能．题型一 证明线线垂直问题例1 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面AB
3、C内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，因而E(0，，)，F(，，0)，所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)，62017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，
4、PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD.证明 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)．∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C(，，0)，E(，，)．设D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，即y＝，则D(0，，0)，∴＝(－，，0)．又＝(，，)，∴·＝－×＋×＝0，∴⊥，即AE⊥CD.题型二 证明线面垂直问题例2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明 方法一 设正方体的棱长为2，建立如图所
5、示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1，1)．＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，62017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1⊂平面B1AC，AC⊂平面
6、B1AC，∴EF⊥平面B1AC.方法二 设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，∵＝＋＝a＋b.∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(
7、b
8、2－
9、a
10、2＋0＋0)＝0.∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.反思与感悟 本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A
11、1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.证明 方法一 如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，62017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0.∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.方法二
12、同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则∴令x＝1得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，显然＝(－1,1，－2)＝－n，∴∥n，∴A1O⊥平面G
