2018版高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.2 空间线面关系的判定(二)

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3.2.2 空间线面关系的判定(二)学习目标 1.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为μ2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么? 梳理 设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1

2、,b2,b3),则l⊥m⇔________⇔________.知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l的方向向量为μ1=,平面α的法向量为μ2=,则直线l与平面α的位置关系是怎样的?如何用向量法判断直线与平面的位置关系?梳理 设直线l的方向向量a=(a1,b1,c1),平面α的法向量μ=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔a∥μ⇔________.知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α,β的法向量分别为μ1=(x1,y1,z1),μ2=(x2,y2,z2),用向量坐标法表示两平面α,β垂直的关系式是什么?102017-201

3、8学年苏教版高中数学选修2-1学案梳理 若平面α的法向量为μ=(a1,b1,c1),平面β的法向量为ν=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν=0⇔________________.类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,B

4、C=4,AB=5,AA1=4,求证:AC⊥BC1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.102017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案求证:AB1⊥平面A1BD.反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一:(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.方法二:(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平

5、面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.102017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案(2)向量

6、法:证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 如图,底面ABCD是正方形,AS⊥平面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.1.有如下四个命题①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,a与平面α平行,则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直.其中为真命题的是________.2.若直线l1的方向向量为a=(2,-4,4),l2的方向向量为b=(4,6,4),则l1与

7、l2的位置关系是________.3.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为μ=(-2,0,-4),则l与α的位置关系是________.4.平面α的一个法向量为m=(1,2,0),平面β的一个法向量为n=(2,-1,0),则平面α与平面β的位置关系是________.5.已知平面α与平面β垂直,若平面α与平面β的法向量分别为μ=(-1,0,5),ν=(t,5,1),则t的值为________.空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90°.两直线的方向向量互相垂直102017-

8、2018学年苏教版高中数学选修2-1学案(2)若直线与平面垂直,则此直线与平面内所有直线垂直线面垂直对于直线l,m,n和平面α(1)若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,m与n相交,则l⊥α.(2)若l∥m,m⊥α,则l⊥α(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.(2)

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