2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效测评新人教A版选修(I)

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1、2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法高效测评新人教A版选修(I)一、选择题(每小题5分，共20分)1．关于反证法的说法正确的有(　　)①反证法的应用需要逆向思维；②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．A．①②　　　　　B．①③C．②③D．③④解析：　容易判断①②是正确的；反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③错误；当结论的反面出现多种可能时，应对这几种可能全

2、部进行论证，故④错误．故选A.答案：　A2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：　B3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的假设为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析

3、：　“恰有一个偶数”的反面是“没有偶数或至少有2个偶数”．故选D.答案：　D4．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是(　　)A.B．C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：　假设f(x)＝x2＋2ax＋1存在好点，亦即方程f(x)＝x有实数根，所以x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数根，则Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3≥0，解得a≤－或a≥，故当

4、f(x)不存在好点时，a的取值范围是－

5、a－1

6、＋

7、b－1

8、＝0，则a＝1，b＝1”，用反证法证明时应假设为________________．解析：　“a＝1，b＝1”的反面是“a，b不都等于1”，即“a，b中至多有一个等于1”．答案：　a，b中至多有一个等于16．在用反证法证明“已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时的反设为________，得出的矛盾为________________．解

9、析：　假设p＋q>2，则p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0，∴(q－1)2<0这不可能．(同理也可得到(p－1)2<0)∴p＋q≤2.答案：　p＋q>2　(q－1)2<0(或(p－1)2<0)三、解答题(每小题10分，共20分)7．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c

10、＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.8．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．证明：　假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0.即＝，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．9.(10分)若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2

11、＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．解析：　假设三个方程均无实数根，则有：解得即－