2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.1椭圆的简单几何性质高效测评新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.1椭圆的简单几何性质高效测评新人教A版选修一、选择题(每小题5分，共20分)1．设已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　)A．(－3,0)　　　　　　　B．(－4,0)C．(－10,0)D．(－5,0)解析：　圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心为(3,0)，则椭圆的一个焦点为(3,0)，∴c＝3,2b＝8，b＝4.a2＝b2＋c2＝25，∴a＝5，椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：　

2、D2．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　)A.＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：　因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.答案：　A3．设0

3、B．C.D．解析：　依题意：4b2＝4ac，∴＝，即1－e2＝e.∴e2＋e－1＝0，∴e＝(舍去负值)．答案：　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．解析：　由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，O(0,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.答案：　66．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦

4、点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________．解析：　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.∴椭圆G的方程为＋＝1.答案：　＋＝1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标．解析：　椭圆方程可化为＋＝1.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝.∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1.∴椭圆的

5、长轴的长和短轴的长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e＝；(2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．解析：　(1)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝

6、，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1，综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.9．(10分)如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解析：　设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距长分别为a，b，c.则

7、焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，

8、F1F2

9、2＋

10、MF2

11、2＝

12、MF1

13、2，即4c2＋b2＝

14、MF1

15、2.而

16、MF1

17、＋

18、MF2

19、＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又因为c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.