2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2椭圆方程及性质的应用高效测评新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2椭圆方程及性质的应用高效测评新人教A版选修一、选择题(每小题5分，共20分)1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－C．－2

2、A

3、B

4、＝＝.答案：　B3．若直线y＝mx＋1和椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，那么m2的值为(　　)A.B．C.D．解析：　由得x2＋4(mx＋1)2－1＝0，即(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，由Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝0，得m2＝.答案：　C4．如果椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程为(　　)A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y－12＝0D．x＋2y－8＝0解析：　椭圆方程可化为9x2＋36y2＝324.设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得＝4，＝2.由作差得，＝

5、－.将＝4，＝2代入上式，得＝－，即kAB＝－，所以弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.答案：　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线y＝x－与椭圆x2＋4y2＝2的位置关系是________．解析：　联立方程组得消去y，整理得5x2－4x－1＝0(#)，Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0，即方程(#)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．答案：　相交6．已知椭圆＋y2＝1，则过点P且被P平分的弦所在的直线方程为______________．解析：　方法一：设过P的直线与椭圆交点A(x1

6、，y1)，B(x2，y2)，设所求直线的斜率为k，当k不存在时，y1＋y2＝0≠1，故k存在．则直线方程为y－＝k.代入椭圆方程，并整理得(1＋2k2)x2－(2k2－2k)x＋k2－k－＝0.由根与系数关系得，x1＋x2＝.∵P是弦中点，∴x1＋x2＝1.即＝1，故得k＝－.所以所求直线方程为2x＋4y－3＝0.方法二：设过P的直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得①－②得＋y－y＝0，⑤将③、④代入⑤得＝－，即直线的斜率为－.所求直线方程为2x＋4y－3＝0.答案：　2x＋4y－3＝0三、解答题(每小题10分，共

7、20分)7．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，求＋的值．解析：　由已知得直线l：y＝(x＋1)．联立可得A(0，)，B，又F(－1,0)，∴

8、AF

9、＝2，

10、BF

11、＝，∴＋＝.8．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x＋y＋1＝0截得的弦的中点的横坐标是－，求椭圆的方程．解析：　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0

12、＝，∴c＝，即＝.②由①②解得m＝，n＝，所以椭圆的方程为x2＋y2＝1，即＋＝1.9．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．解析：　(1)由题意得解得b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝所以

13、MN

14、＝＝＝.又因为点A

15、(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝

16、MN

17、·d＝.由＝，解得k＝±1.