2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2椭圆方程及性质的应用综合提升案新人教A版选修

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1、2-1-2-2椭圆方程及性质的应用综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若

2、AB

3、＝8，则

4、AF1

5、＋

6、BF1

7、的值为A．10　　　　B．12　　　　C．16　　　　D．18解析　∵

8、AB

9、＋

10、AF1

11、＋

12、BF1

13、＝4a，∴

14、AF1

15、＋

16、BF1

17、＝4×5－8＝12.答案　B2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不确定解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在

18、椭圆内部，因此必与椭圆相交．故选A.答案　A3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则

19、AB

20、＝A．4B．2C．1D．4解析　∵＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，∴c2＝3，∴F2(，0)，将x＝代入＋y2＝1，得y＝±，故

21、AB

22、＝1.答案　C4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为A．1B．－1C．－D．以上都不对解析　表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．不妨设＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2)．6由，得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.令Δ＝

23、(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，∴kmin＝－，即的最小值为－.答案　C5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则

24、

25、＝A.B．2C.D．3解析　设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.解得n2＝1，∴

26、

27、＝＝＝.答案　A6．若直线mx＋

28、ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为A．至多一个B．2C．1D．0解析　依题意＞2，∴＜2.即m2＋n2＜4∴＋＜＋＜16故点P(m，n)在椭圆内，因此有两个交点．答案　B二、填空题(每小题5分，共15分)7．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．解析　由消去y，得3x2＋4x－2＝0.设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点坐标为(x中，y中)，则x1＋x2＝－，∴x中＝－.从而y中＝x中＋1＝－＋1＝，∴中点坐标为.答案　8．经过椭圆＋y2＝

29、1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于________．解析　不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1，0)，则直线l的方程为y＝x－1，由消去y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋16＝－＋1＝－.答案　－9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，

30、

31、＝1，且·＝0，则

32、

33、的最小值是________．解析　易知点A(3，0)是椭圆的右焦点

34、．∵·＝0，∴⊥.∴

35、

36、2＝

37、

38、2－

39、

40、2＝

41、

42、2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故

43、

44、min＝2，∴

45、

46、min＝.答案　三、解答题(共35分)10．(10分)设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．(1)求实数b的取值范围；(2)当b＝1时，求

47、AB

48、.解析　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－

49、，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－.相应地y1＝1，y2＝－.所以

50、AB

51、＝＝.11．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点F(－2，0)．6(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解析　(1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由消y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8

52、m2＞0，∴－2＜m＜2.∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴＋＝1，∴m＝±.∴m的值为±.12．(15分)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O