2019-2020年高中数学第二章参数方程3参数方程化成普通方程学案北师大版选修

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1、2019-2020年高中数学第二章参数方程3参数方程化成普通方程学案北师大版选修1．代数法消去参数(1)代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程．(2)代数运算法：通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程．2．利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得曲线的普通方程．1．将参数方程化为普通方程时要注意什么？提示：注意消参的过程要求不减少也不增加曲线上

2、的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2．将参数方程(t为参数)化为普通方程是y＝－2x＋3吗？提示：不是，应是y＝－2x＋3(x≥1)．[对应学生用书P32]将参数方程化为普通方程　　[例1]　将下列参数方程化成普通方程．(1)　(2)(3)(θ为参数)；(4)(t为参数)．[思路点拨]　本题考查参数方程化普通方程及运算、转化能力，解答此题需要根据方程的特点，选择适当的消参方法求解．[精解详析]　(1)由x＝得t＝，代入y＝化简得y＝(x≠1)．(2)由x－2y＝t－1得t＝x－2y＋1，代入y＝t2－t－1化简得x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0.(3

3、)把y＝代入x＝a得x－y＝atanθ，(x－y)2＝a2tan2θ，由题设得y2＝，因而x2－2xy＋a2＝0.(4)将y＝－pt的两边平方得y2＝＋p2t2－2p2＝p(＋pt2－2p)．把x＝＋pt2代入上式，得y2＝p(x－2p)．将参数方程化为普通方程的一般思路：先分析方程的结构特征，再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参，但要注意需由参数方程讨论x，y的变化范围，并验证其两种形式下的一致性．1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析：由题设可得直线l：y＝x－a，又

4、由椭圆参数方程可知其右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.答案：32．把参数方程(t为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：由2＋2＝1，得x2＋4y2＝1，又－1＜≤1，得－1＜x≤1.∴所求普通方程是x2＋4y2＝1(－1＜x≤1)．将x2＋4y2＝1转化为＋＝1，它表示中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，短轴长为1，除去点(－1,0)的椭圆.参数方程化普通方程的应用[例2]　求曲线C1：(θ为参数)上的点到曲线C2：(t为参数)上的点的最短距离．[思路点拨]　本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、运算能力，解答此题需要将曲线C1，C2的参数方程化

5、为普通方程，转化为圆上点到直线的最短距离求解．[精解详析]　由曲线C1：(θ为参数)得两式平方相加得：(x－1)2＋y2＝1.得C1为圆心C1(1,0)，半径为1的圆．对于曲线C2：消去参数t得直线方程x＋y＋2－1＝0，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d＝＝2，所以最短距离为2.对于根据曲线的参数方程定形问题，位置关系问题及有关的距离计算等几何性质问题，直接求解有困难时，常将参数方程化为普通方程再求解．3．求参数方程(t∈R)与(θ∈R)所表示的图形相交所得的弦长．解：由(θ∈R)消去θ得椭圆＋y2＝1，将(t∈R)代入椭圆方程，化简得9t2＋2t－5＝0，设该方

6、程的两实根为t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－.所求弦长为

7、t1－t2

8、＝＝＝.4．将曲线C：(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：∵∴x2＋(y＋1)2＝1.∴曲线C是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d＝≤1，解得1－≤a≤1＋.∴a的取值范围为[1－，1＋]．本课时考点是近几年高考及各地模拟的热点，主要考查参数方程化为普通方程及其应用，同时考查转化、运算求解能力，常与三角、解析几何等知识交汇命题．[考题印证]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲

9、线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边　形A1A2B2B1的面积．[命题立意]　本小题主要考查参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与直角坐标方程的互化．[自主尝试](1)C1是圆，C2是椭圆．当α