3.参数方程化成普通方程

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时间:2019-05-07

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1、主备:冯宗明喻浩徐洪燕审核:牟必继人生的每一笔经历,都在书写你的简历。2.3参数方程化成普通方程教学目标:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法重点、难点:参数方程与普通方程的等价性一、引入在实际应用过程中,有时需要消去参数方程中的参数,得出普通方程。二、下面介绍两种消去参数的常用方法。例11.将参数方程(t为参数),化成普通方程.1、代数法消去参数2.将参数方程(t为参数),化成普通方程.3.将参数方程(t为参数),化成普通方程.例2将参数方程(t为参数),化成普通方程,并画出曲线的草图。解>0①②将它代入①,并化简得(x>0)它表示的曲线是以(1,0)为

2、圆心,1为半径的圆除去原点(0,0),如图注意到x的限制条件xy1O注意这是空点!例3:将参数方程2、利用三角恒等式消去参数(a,b>0,为参数),化成普通方程.将参数方程化为普通方程是消去参数x=f(t)y=g(t)消参F(x,y)=0(t为参数)1.在实施消参的过程中,具体方法有代入法、代数变换法(加、减、乘、除、乘方等)和三角变换方法。2.注意参数的取值范围对x、y的取值范围的限制,以使参数方程与普通方程保持等价性。三、小结:例4将下列参数方程(其中t,为参数)化为普通方程,并画出曲线的草图。(2)(4)(1)(3)(1)解x+xcos=cos,

3、普通方程是曲线如图oxy1-1(2)由得将它代入并化简得4x–y–2=0(y2)画出草图如图:解xyo12解两式平方相减,得(x≥3),它表示双曲线的右支,草图所示。(3)yxo35由≥3,又(4)解得又两式平方相加,得中,y–1,普通方程是,曲线如图xyo2例5参数方程表示()A、双曲线的一支,这支过点(1,):B、抛物线的一部分,这部分过(1,);C、双曲线的一支,这支过点(–1,);D、抛物线的一部分,这部分过(–1,)分析一般思路是:化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2==1+sin=2y,普通方程是x2=2y,为抛物线。,又0<<

4、2,0

5、)y=1-2x2(-1≤x≤1)(3)x2-y=2(X≥2或x≤-2)步骤:(1)消参;(2)求定义域。x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.3、曲线y=x2的一种参数方程是().注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.在y=x2中,x∈R,y≥0,分析:发生了变化,因而与y=x2不等价;在A、B、C中,x,y的范围都而在D中,且以练习:(选讲)例6在直角坐标系中,有椭圆C1和抛物线C2,它们的参数方程分别是(m是常数,是参数)(t是参数)(1)

6、求证:当m=4时,椭圆C1有一个焦点和一条准线分别与抛物线C2的焦点和准线重合;(2)求证:当且仅当m[]时,椭圆C1和抛物线C2有交点。解(1)消去参数得椭圆C1和抛物线C2有普通方程是:当m=4,椭圆C1的中心为(4,0),焦点在x轴a=2,b=,c=1。焦点坐标是(5,0)是x=8和x=0。和(3,0),准线方程抛物线C2,是以x轴为对称轴,开口向右、顶点为。焦点是(3,0),准线方程是x=0。椭圆C1的左焦点和左准线分别与抛物线C2的焦点和准线重合。思路1代数方法证法1由方程组消去y后,并整理x2+(8-2m)x+m2-16=0=4[(m-

7、4)2-(m2-16)]=32(4-m)≥0m≤4。解得x1=-(4-m)+x2=交点在抛物线y2=6(x)上,同时可舍去x2,故m需满足解得当且仅当m[]时,椭圆与抛物线有交点思路2三角方法证法2将椭圆C1的参数方程代入抛物线C2的普通方程y2=6(x),得3sin2=6(m+2cos),2m=sin2-4cos+3=-(cos+2)2+8-1≤-(cos+2)2+8≤7,-1≤2m≤7,即说明:(1)解法2是通过参数方程和普通方程联立,消去x、y将它转化为三角问题来解的,所以更为简便。(2)在二次曲线中,不能只考虑判别式≥0,同

8、时还要考虑二次曲线的方程

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