3.参数方程化成普通方程

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1、主备：冯宗明喻浩徐洪燕审核：牟必继人生的每一笔经历，都在书写你的简历。2.3参数方程化成普通方程教学目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法重点、难点：参数方程与普通方程的等价性一、引入在实际应用过程中，有时需要消去参数方程中的参数，得出普通方程。二、下面介绍两种消去参数的常用方法。例11.将参数方程(t为参数),化成普通方程.1、代数法消去参数2.将参数方程(t为参数),化成普通方程.3.将参数方程(t为参数),化成普通方程.例2将参数方程(t为参数),化成普通方程,并画出曲线的草图。解>0①②将它代入①,并化简得(x>0)它表示的曲线是以(1,0)为

2、圆心,1为半径的圆除去原点(0,0),如图注意到x的限制条件xy1O注意这是空点！例3：将参数方程2、利用三角恒等式消去参数(a,b>0,为参数),化成普通方程.将参数方程化为普通方程是消去参数x=f(t)y=g(t)消参F(x,y)=0(t为参数)1.在实施消参的过程中,具体方法有代入法、代数变换法(加、减、乘、除、乘方等）和三角变换方法。2.注意参数的取值范围对x、y的取值范围的限制，以使参数方程与普通方程保持等价性。三、小结:例4将下列参数方程（其中t，为参数）化为普通方程，并画出曲线的草图。（2）（4）（1）（3）（1）解x+xcos=cos，

3、普通方程是曲线如图oxy1-1(2)由得将它代入并化简得4x–y–2=0（y2）画出草图如图：解xyo12解两式平方相减，得（x≥3），它表示双曲线的右支，草图所示。（3）yxo35由≥3，又(4)解得又两式平方相加，得中，y–1，普通方程是，曲线如图xyo2例5参数方程表示（）A、双曲线的一支，这支过点（1，）：B、抛物线的一部分，这部分过（1，）；C、双曲线的一支，这支过点（–1，）；D、抛物线的一部分，这部分过（–1，）分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。，又0<<

4、2，0

5、）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.3、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练习:（选讲）例6在直角坐标系中，有椭圆C1和抛物线C2，它们的参数方程分别是（ｍ是常数，是参数）（ｔ是参数）（1）

6、求证：当m=4时，椭圆C1有一个焦点和一条准线分别与抛物线C2的焦点和准线重合；（2）求证：当且仅当m[]时，椭圆C1和抛物线C2有交点。解（1）消去参数得椭圆C1和抛物线C2有普通方程是：当m=4，椭圆C1的中心为（4，0），焦点在x轴a=2，b=，c=1。焦点坐标是（5，0）是x=8和x=0。和（3，0），准线方程抛物线C2，是以x轴为对称轴，开口向右、顶点为。焦点是（3，0），准线方程是x=0。椭圆C1的左焦点和左准线分别与抛物线C2的焦点和准线重合。思路1代数方法证法1由方程组消去y后，并整理x2+（8－2m）x+m2－16=0=4[（m－

7、4）2－（m2－16）]=32（4－m）≥0m≤4。解得x1=－（4－m）+x2=交点在抛物线y2=6（x）上，同时可舍去x2，故m需满足解得当且仅当m[]时，椭圆与抛物线有交点思路2三角方法证法2将椭圆C1的参数方程代入抛物线C2的普通方程y2=6（x），得3sin2=6（m+2cos），2m=sin2－4cos+3=－（cos+2）2+8－1≤－（cos+2）2+8≤7，－1≤2m≤7，即说明：（1）解法2是通过参数方程和普通方程联立，消去x、y将它转化为三角问题来解的，所以更为简便。（2）在二次曲线中，不能只考虑判别式≥0，同

8、时还要考虑二次曲线的方程