2019-2020年高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法2学业分层测评含解析北师大版选修

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1、2019-2020年高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法2学业分层测评含解析北师大版选修一、选择题1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)A．ab>0　　　　　　B．b>aC．a，但>不能推出a成立的一个充分不必要条件．【答案】　C2．求证：－1>－.证明：要证－1>－，只需证＋>＋1，即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，∵35>11，∴原不等式成立．以上证明应用了(　　)A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D．间接证法【解析】　该证明方法符合分析法的

2、定义，故选A.【答案】　A3．(xx·汕头高二检测)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】　D4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)A．a2b2＋c2D．a2≤b2＋c2【解析】　由余弦定理得cosA＝<

3、0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋c2b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0【解析】　由题意知0⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.【答案】　C二、填空题6．(xx·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(

4、a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．【解析】　∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.【答案】　A≥B7．(xx·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________．【解析】　要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.【答案】　a>b>08．如图337，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)图337【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【

5、答案】　AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】　法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3

6、>a2b＋ab2.10．(xx·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2absinC，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4S.[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则(　　)A.<

7、，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)(a>0，b>0)C.－<－(a≥3)D.＋>2【解析】　对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>