高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学业分层测评（含解析）新人教a版选修2-2

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1、2.2.1综合法和分析法学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中应用了(　　)A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法【解析】　此证明符合综合法的证明思路．故选B.【答案】　B2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证(　　)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(

2、a2－1)(b2－1)≥0【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.【答案】　D3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：⊕abcdaabcdbbbbbccbcbddbbd　　　　⊗abcaaaababccaccdada那么，d⊗(a⊕c)等于(　　)A．a　　　　　　　B．bC．cD．d【解析】　由⊕运算可知，a⊕c＝c，∴d⊗(a⊕c)＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A.【答案】　A4．欲证－<－成立，只需证(　　)A．(－

3、)2<(－)2B．(－)2<(－)2C．(＋)2<(＋)2D．(－－)2<(－)2【解析】　∵－<0，－<0，故－<－⇔＋<＋⇔(＋)2<(＋)2.【答案】　C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是(　　)A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．sin(α＋β)>cosα＋cosβC．cos(α＋β)>sinα＋sinβD．cos(α＋β)0，cosβ>0.所以cosα＋cosβ>cos(α＋

4、β)．若0<α＋β<，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】　该证明方法是“由因导果”法．【答案

5、】　综合法7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________．【解析】　要使a>b，只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，即a>b>0.【答案】　a>b>08．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________.【解析】　若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.【答案】　三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点．(1

6、)求弦AB的长；(2)求三角形ABO的面积．【解】　(1)由题意得，直线L的方程为y＝(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义，得弦长

7、AB

8、＝x1＋x2＋p＝＋2＝.(2)点O到直线AB的距离d＝＝，所以三角形OAB的面积为S＝

9、AB

10、·d＝.10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2absinC，即证a2＋b2≥2a

11、bsin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.[能力提升]1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.【解析】　是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝⇒ab≤，所以＋＝＝≥＝4.【答案】　B2．(2016·石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是(　　)A．(－1,2)B．(－2

12、,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】　令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2a