高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明学业分层测评（含解析）北师大版选修1-2

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1、3.2数学证明学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，(大前提)整数是有理数，(小前提)整数是真分数．(结论)结论显然是错误的，是因为(　　)A．大前提错误　　　B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】　举反例，如2是有理数，但不是真分数，故大前提错误．【答案】　A2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC

2、”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC

3、郑州高二检测)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)A．－10，∵不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，∴Δ＝1－4×(－a2＋a＋1)<0，解得－

4、线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等【解析】　得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．【答案】　B二、填空题6．在三段论“因为a＝(1,0)，b＝(0，－1)，所以a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，所以a⊥b”中，大前提：________________________________________________________，小前提：________________________________________________________

5、，结论：___________________________________________________________.【解析】　本题省略了大前提，即“a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b”．【答案】　若a，b均为非零向量，a·b＝0，则a⊥ba＝(1,0)，b＝(0，－1)，且a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0　a⊥b7．(2016·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．其演绎推理的“三段论”的形式为__________________________

6、__________________________________________.【答案】　一切奇数都不能被2整除，(大前提)2100＋1是奇数，(小前提)所以2100＋1不能被2整除．(结论)8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＋＝________.【解析】　利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)．(大前提)令b＝1，则＝f(1)＝2.(小前提)∴＝＝…＝＝＝2，(结论)∴原式＝2＋2＋…＋＝2018.【答案】　2018三、解答题9．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1

7、)自然数是整数，所以6是整数；(2)y＝cosx(x∈R)是周期函数．【解】　(1)自然数是整数，(大前提)6是自然数，(小前提)所以6是整数．(结论)(2)三角函数是周期函数，(大前提)y＝cosx(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝cosx(x∈R)是周期函数．(结论)10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y).(1)求证：f(x2)＝2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．【解】　(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)∴

8、f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)∴f(1)＝0.(结论)(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(