2019-2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修4

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1、2019-2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修4　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P41．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥，成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使≥成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b.2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2＋b2≥；(2)ab≤；(3)ab≤()2；(4)()2≤；(5)(a＋b)2≥4a

2、b.对应学生用书P5利用基本不等式证明不等式[例1]　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.[思路点拨]　解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．[证明]　法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即＋＋≥9.法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴＋＋≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等

3、式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：因为a，b，c，d都是正数，所以≥＞0，≥＞0，所以≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．2．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵a，b，c，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b.＋a≥2＝2c.∴(＋b)＋(＋c)＋(＋a)≥2(a＋b＋c)．即＋＋≥a＋b＋c.当且仅当＝b，＝c，＝a，即a＝b＝c时取等号.利用基本不等式求最值[例2]　(1)求当

4、x>0时，f(x)＝的值域；(2)设00，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[思路点拨]　根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．[解]　(1)∵x>0，∴f(x)＝＝.∵x＋≥2，∴0<≤.∴00.∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∴y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且

5、仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x＞0，则2x＋的最小值和取得最小值时的x值分别是(　　)A．8,2B．8,4C．16,2D．16,4解析：2x＋≥2＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时，取“＝”号，故选A

6、.答案：A4．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(　　)A．40B．10C．4D．2解析：∵x，y∈R＋，∴≤.∴≤＝10.∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.答案：D5．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)A.　　　　　　　　　B．C．5D．6解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5，∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)＝＋＋9＋4≥2＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．∴3x＋4y的最小值是5.答案：C利用基本不等式解决实际问题[例3]　某国际化妆品

7、生产企业为了占有更多的市场份额，拟在xx年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知xx年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1