2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念教学案新人教A版选修2-2

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1、2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念教学案新人教A版选修2-2预习课本P45～47，思考并完成下列问题(1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？　(2)定积分的计算有哪些性质？　　　　　　1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝lif(ξi)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a

3、y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)≥0时，f(x)dx＝S；当f(x)<0时，f(x)dx＝－S.2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

4、的打“×”)(1)dx＝1.(　　)(2)f(x)dx的值一定是一个正数．(　　)(3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√2.xdx的值为(　　)A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．－2答案：C3．已知f(x)dx＝8，则(　　)A.f(x)dx＝4B.f(x)dx＝4C.f(x)dx＋f(x)dx＝8D．以上答案都不对答案：C4．已知xdx＝2，则xdx＝________.答案：－2利用定义求定积分[典例]　利用定义求定积分x2dx.[解]　令f(x)＝x2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地

5、插入n－1个点，把区间[0,3]分成n等份，其分点为xi＝(i＝1,2，…，n－1)，这样每个小区间[xi－1，xi]的长度Δx＝(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替、求和：令ξi＝xi＝(i＝1,2，…，n)，于是有和式：(ξi)Δx＝2·＝2＝·n(n＋1)(2n＋1)＝.(3)取极限：根据定积分的定义，有x2dx＝(ξi)Δx＝＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或ξi＝xi；(3)求和：(ξi)·；(4)取极限：f(x)＝li(ξi)·.　　　　　　[活

6、学活用]利用定积分的定义计算(－x2＋2x)dx的值．解：令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝.(2)近似代替、求和取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则Sn＝·Δx＝·＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]＝－＋·＝－＋＋3＋.(3)取极限(－x2＋2x)dx＝Sn＝－＋＋3＋＝.用定积分的性质求定积分[典例]　(1)f(x)＝则f(x)dx＝(　　)A.

7、(x＋1)dxB.2x2dxC.(x＋1)dx＋2x2dxD.2xdx＋(x＋1)dx(2)已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值：①(2x＋x2)dx；②(2x2－x＋1)dx.[解析]　(1)由定积分的几何性质得：f(x)dx＝(x＋1)dx＋2x2dx.答案：C(2)解：①(2x＋x2)dx＝2xdx＋x2dx＝2×＋＝e2＋.②(2x2－x＋1)dx＝2x2dx－xdx＋1dx，因为已知xdx＝，x2dx＝，又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，所以1dx＝1×e＝e，故(2x2－x＋1)dx

8、＝2×－＋e＝e3－e2＋e.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数