2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语疑难规律方法教学案新人教B版选修1

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1、2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语疑难规律方法教学案新人教B版选修11．利用集合——理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.②A是B的必要条件，即B⊆A.③A是B的充要条件，即A＝B.④A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有

2、非公共元素．或例1　“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析　设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x

3、x≤1或x≥2}，B＝{x

4、x≥1}，显然“A⃘B，B⃘A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要条件．答案　既不充分也不必要2．抓住量词——对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类

5、命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．解析　(1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.命题

6、q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．综上所述，a≤－1或2≤a≤4.答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价

7、转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3　设p：q：x2＋y2≤r2(r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．分析　“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A⊆∁RB出发解题．解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x

8、2＋y2＝r2外的点的集合．∵A⊆∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝，∴r的取值范围为00)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2　判断条件四策略1．应用定义如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时

9、称q是p的必要条件．判断的关键是分清条件与结论．例1　设集合M＝{x

10、x>2}，P＝{x

11、x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____________条件．解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，所以pD/⇒q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p.综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．答案　必要不充分2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.例2　如果A是B的必

12、要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的____________条件．解析　依题意，有A⇐B⇔C⇐D且AD⇒/B⇔CD⇒/D，由命题的传递性可知D⇒A，但AD⇒/D.于是A是D的必要不充分条件．答案　必要不充分3．利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q