2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 新人教b版选修2-1

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1、第一章常用逻辑用语1　怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即A⊆B.(2)A是B的必要条件，即B⊆A.(3)A是B的充要条件，即A＝B.(4)A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1　设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z

2、x2<2}，则“a＝1”是“S⊆T”的___

3、_____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析　T＝{x∈Z

4、x2<2}＝{－1，0，1}，a＝1时，S＝{0，1}，所以S⊆T；反之，若S⊆T，则S＝{0，1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．答案　充分不必要2．抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．9例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”

5、都是真命题，则实数a的取值范围为______________．(2)已知命题p：“存在x0∈[1，2]，x－a≥0”与命题q：“存在x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．解析　(1)将命题p转化为当x∈[1，2]时，(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．(2)命题p转化为当x0∈[1，2]时，(x－a)max≥0，即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．综上所述，a的取值范围为(－∞

6、，－1]∪[2，4]．答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2，4]点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3　设p：q：x2＋y2≤r2(r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．分析　“q是綈p

7、的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A∁RB出发解题．解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合．∵A∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝，∴r的取值范围为(0，]．点评　若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2(r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但

8、以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法.92　辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．1．否命题与命题的否定的概念设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命

9、题的条件相同，结论相反．例1　写出下列命题的否命题及否定：(1)若

10、x

11、＋

12、y

13、＝0，则x，y全为0；(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．分析　问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．解　(1)原命题的条件为“

14、x

15、＋

16、y

17、＝0”，结论为“x，y全为0”．写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若

18、x

19、＋

20、y

21、≠0，则x，y不全为0”．写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若

22、x

23、＋

24、y

25、＝0，则x，y不全为