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1、2019-2020年高中数学第3章不等式3.2均值不等式第1课时均值不等式课时作业新人教B版必修一、选择题1.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( D )A.a2+b2>2ab B.a+b≥2C.+>D.+≥2[解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误.对于B、C,当a<0,b<0时,明显错误.对于D,∵ab>0,∴+≥2=2.2.设02、-a=(-)>0,即>a,故选B.3.设x、y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为( D )A.10 B.6 C.4 D.18[解析] x+y=5,3x+3y≥2=2=2=18.4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10则a5a16的最大值为( D )A.100B.75C.50D.25[解析] ∵a5>0,a16>0,a5+a16=10,∴a5·a16≤()2=()2=25,当且仅当a5=a16=5时,等号成立.5.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( B )A.8B.4C.1D3、.[解析] 根据题意得3a·3b=3,∴3a+b=3,∴a+b=1,∴+=+=2++≥4.当a=b=时“=”成立.故选B.6.下列求最值过程中正确的是( C )A.若00,则y=2+x+≥2+2=6.所以y的最小值是6D.若04、=∉(0,1];D中由x=4-x得x=2∉(0,1).二、填空题7.设实数a使a2+a-2>0成立,t>0,则logat与loga的大小,关系为logat≤loga.[解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2或a>1,又a>0且a≠1,∴a>1,∵t>0,∴≥,∴loga≥loga=logat,∴logat≤loga.8.函数y=x·(3-2x) (0≤x≤1)的最大值为.[解析] ∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y=·2x·(3-2x)≤[]2=,当且仅当2x=3-2x即x=时,取“=”号.三、解答题9.已知a、b是正5、数,试比较与的大小.[解析] ∵a>0,b>0,∴+≥2>0.∴≤=.即≤.10.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,求三角形OAB面积的最小值.[解析] 设A(a,0)、B(0,b),则直线AB的方程为+=1,又直线过点P(2,1),∴+=1∴1=+≥2,∴ab≥8.当且仅当=即a=4,b=2时等号成立.∴S△OAB的最小值为×8=4.能力提升一、选择题1.函数f(x)=的最大值为( C )A.B.C.D.1[解析] 令t=(t≥0),则x=t2,∴f(x)==.当t=6、0时,f(x)=0;当t>0时,f(x)==.∵t+≥2,∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y为正数),若a⊥b,则xy的最大值是( A )A.B.-C.1D.-1[解析] 由已知得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.∴xy=x(2-2x)=≤×()2=.3.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)( A )A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数[解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+-1=-(-2x+)-1≤-2-1=-2-1,当且仅当-2x=,即x=-时7、等号成立.∴f(x)有最大值.4.已知x>0,y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则的最小值是( D )A.0B.1C.2D.4[解析] 由等差、等比数列的性质得==++2≥2+2=4.当且仅当x=y时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则P、Q、R的大小关系是Pb>1,所以lga>lgb>0,所以(lga+lgb)>,即Q>P,又因为>,所以lg>lg=(lga+lgb),所以R>Q.故P8、函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为4.[解析] 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.三、解答题7.今有一
2、-a=(-)>0,即>a,故选B.3.设x、y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为( D )A.10 B.6 C.4 D.18[解析] x+y=5,3x+3y≥2=2=2=18.4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10则a5a16的最大值为( D )A.100B.75C.50D.25[解析] ∵a5>0,a16>0,a5+a16=10,∴a5·a16≤()2=()2=25,当且仅当a5=a16=5时,等号成立.5.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( B )A.8B.4C.1D
3、.[解析] 根据题意得3a·3b=3,∴3a+b=3,∴a+b=1,∴+=+=2++≥4.当a=b=时“=”成立.故选B.6.下列求最值过程中正确的是( C )A.若00,则y=2+x+≥2+2=6.所以y的最小值是6D.若04、=∉(0,1];D中由x=4-x得x=2∉(0,1).二、填空题7.设实数a使a2+a-2>0成立,t>0,则logat与loga的大小,关系为logat≤loga.[解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2或a>1,又a>0且a≠1,∴a>1,∵t>0,∴≥,∴loga≥loga=logat,∴logat≤loga.8.函数y=x·(3-2x) (0≤x≤1)的最大值为.[解析] ∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y=·2x·(3-2x)≤[]2=,当且仅当2x=3-2x即x=时,取“=”号.三、解答题9.已知a、b是正5、数,试比较与的大小.[解析] ∵a>0,b>0,∴+≥2>0.∴≤=.即≤.10.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,求三角形OAB面积的最小值.[解析] 设A(a,0)、B(0,b),则直线AB的方程为+=1,又直线过点P(2,1),∴+=1∴1=+≥2,∴ab≥8.当且仅当=即a=4,b=2时等号成立.∴S△OAB的最小值为×8=4.能力提升一、选择题1.函数f(x)=的最大值为( C )A.B.C.D.1[解析] 令t=(t≥0),则x=t2,∴f(x)==.当t=6、0时,f(x)=0;当t>0时,f(x)==.∵t+≥2,∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y为正数),若a⊥b,则xy的最大值是( A )A.B.-C.1D.-1[解析] 由已知得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.∴xy=x(2-2x)=≤×()2=.3.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)( A )A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数[解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+-1=-(-2x+)-1≤-2-1=-2-1,当且仅当-2x=,即x=-时7、等号成立.∴f(x)有最大值.4.已知x>0,y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则的最小值是( D )A.0B.1C.2D.4[解析] 由等差、等比数列的性质得==++2≥2+2=4.当且仅当x=y时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则P、Q、R的大小关系是Pb>1,所以lga>lgb>0,所以(lga+lgb)>,即Q>P,又因为>,所以lg>lg=(lga+lgb),所以R>Q.故P8、函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为4.[解析] 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.三、解答题7.今有一
4、=∉(0,1];D中由x=4-x得x=2∉(0,1).二、填空题7.设实数a使a2+a-2>0成立,t>0,则logat与loga的大小,关系为logat≤loga.[解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2或a>1,又a>0且a≠1,∴a>1,∵t>0,∴≥,∴loga≥loga=logat,∴logat≤loga.8.函数y=x·(3-2x) (0≤x≤1)的最大值为.[解析] ∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y=·2x·(3-2x)≤[]2=,当且仅当2x=3-2x即x=时,取“=”号.三、解答题9.已知a、b是正
5、数,试比较与的大小.[解析] ∵a>0,b>0,∴+≥2>0.∴≤=.即≤.10.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,求三角形OAB面积的最小值.[解析] 设A(a,0)、B(0,b),则直线AB的方程为+=1,又直线过点P(2,1),∴+=1∴1=+≥2,∴ab≥8.当且仅当=即a=4,b=2时等号成立.∴S△OAB的最小值为×8=4.能力提升一、选择题1.函数f(x)=的最大值为( C )A.B.C.D.1[解析] 令t=(t≥0),则x=t2,∴f(x)==.当t=
6、0时,f(x)=0;当t>0时,f(x)==.∵t+≥2,∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y为正数),若a⊥b,则xy的最大值是( A )A.B.-C.1D.-1[解析] 由已知得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.∴xy=x(2-2x)=≤×()2=.3.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)( A )A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数[解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+-1=-(-2x+)-1≤-2-1=-2-1,当且仅当-2x=,即x=-时
7、等号成立.∴f(x)有最大值.4.已知x>0,y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则的最小值是( D )A.0B.1C.2D.4[解析] 由等差、等比数列的性质得==++2≥2+2=4.当且仅当x=y时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则P、Q、R的大小关系是Pb>1,所以lga>lgb>0,所以(lga+lgb)>,即Q>P,又因为>,所以lg>lg=(lga+lgb),所以R>Q.故P8、函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为4.[解析] 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.三、解答题7.今有一
b>1,所以lga>lgb>0,所以(lga+lgb)>,即Q>P,又因为>,所以lg>lg=(lga+lgb),所以R>Q.故P8、函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为4.[解析] 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.三、解答题7.今有一
8、函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为4.[解析] 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.三、解答题7.今有一
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