高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用__证明问题课件新人教B版.pptx

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1、数学必修5·人教B版新课标导学第三章不等式3.2　均值不等式第2课时　均值不等式的应用——证明问题1课前自主学习2课堂典例讲练3课时作业课前自主学习现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a和b，C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜．先取者有没有必胜的方案？若有，有几种？2abDDB8①③⑤课堂典例讲练命题方向1　⇨不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法[点评]本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字

2、母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．将①②③式两边分别相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2＝(a2b＋bc2)＋(ab2＋ac2)＋(b2c＋a2c)＝b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2)≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab＝6abc，∴a3＋b3＋c3≥3abc.显然，当且仅当a＝b＝c时，a3＋b3＋c3＝3abc.命题方向2　⇨利用均值不等式证明不等式[点评]含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a＋b＋c＝1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不

3、等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到．命题方向3　⇨均值不等式的综合应用由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．②将②式展开化简得(ad－bc)2≥0.因此a、b、c、d全是实数∴此式成立，故①式成立，从而原命题得证．[点评]三种证法各有侧重点，但都植根于条件a2＋b2＝1与c2＋d2＝1的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放过一种可能的思路火花，多方探索、对比，对开阔视野，训练思维很有帮助．