2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式（第1课时）均值不等式学案新人教b版

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1、第1课时　均值不等式学习目标　1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一　算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二　均值不等式常见推论1．均值定理如果a，b∈R＋，那么≥．当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．2．常见推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(

2、a，b同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．(　√　)2．n∈N＋时，n＋≥2．(　√　)3．x≠0时，x＋≥2．(　×　)4．a>0，b>0时，＋≥．(　√　)题型一　常见推论的证明例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab．引申探究1．求证≥(a＞0，b＞0)．证明　方法一　－＝[()2＋()2－2·]＝·(－)2≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．方法二　由例1知，a2＋b2≥2ab．∴当a＞0，b＞0时

3、有()2＋()2≥2，即a＋b≥2，≥．2．证明不等式2≤(a，b∈R)．证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．反思感悟　(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．跟踪训练1　当a＞0，b＞0时，求证：≤.证明　∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，∴≤，∴≤＝．又∵＝，∴≤(当且仅当a＝b时取等号)．题型二　用均值不等式证明不等式例2　已知x，y都是

4、正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明　(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所

5、求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明　∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．题型三　用

6、均值不等式比较大小例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥答案　B解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2．依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．反思感悟　均值不等式≥一端为和，一端为

7、积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3　设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg，则P，Q，R的大小关系是(　　)A．R0，∴lg＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q．②综合①②，有P

8、．∵x＞－1，∴x＋1＞0．∴(x＋1