2019-2020年高考数学大一轮复习 冲关集训5 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习冲关集训5理新人教A版1．(xx·咸阳市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)的离心率e＝，且椭圆C过点P(2,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线的l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2，则椭圆方程为＋＝1，即x2＋4y2＝4b2.∵椭圆过点P(2,1)，∴b2＝2，a2＝8椭圆方程为＋＝1(2)设l的方程为y＝x＋m，代入椭圆方程中整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，Δ＝4m2－4(2m2－4)>0⇒m2<4.则

2、

3、AB

4、＝×＝.点P到直线l的距离d＝＝.因此S△＝d

5、AB

6、＝·≤＝2当且仅当m2＝2∈[0,4)，即m＝±时取得最大值2.2．(xx·邢台市二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(3，－1)．(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P在直线l：x＝－2上，过P作直线求椭圆C于M，N两点，使得PM＝PN，再过P作直线l′⊥MN，证明：直接l′恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C上，即＋＝1,①又椭圆的离心率为，所以＝＝2＝，②联立①②可解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)因为直线l的方程为x＝－2，设

7、P(－2，y0)，y0∈，当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，联立则＋＝0，即＝－·，又PM＝PN，即P为线段MN的中点，故直线MN的斜率为－·＝，又l′⊥MN，所以直线l′的方程为y－y0＝－(x＋2)，即y＝－，显然l′恒过定点；当y0＝0时，直线MN即x＝－2，此时l′为x轴亦过点.综上所述，l′恒过定点.3．(理)(xx·菏泽市一模)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M、N.(1)求椭圆C的方程；(2)求·的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆

8、C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点.试问；是否存在使S△POS·S△POR最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由．解：(1)由题意知解之得：a＝2，c＝，由c2＝a2－b2得b＝1，故椭圆C方程为＋y2＝1.(2)点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0,由于点M在椭圆C上，∴y＝1－，由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝2－.由于－2

9、＝－时，y1＝，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2＝，故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝；(3)假设存在满足条件的点P，设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得xR＝，同理xS＝，故xR·xS＝；又点M与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，得xR·xS＝＝＝4，∴

10、OR

11、·

12、OS

13、＝

14、xR

15、·

16、xS

17、＝

18、xR·xS

19、＝4为定值，∵S△POS·S△POR＝

20、OS

21、

22、yp

23、·

24、OR

25、

26、yP

27、＝×4×y＝y，由P为椭圆上的一点，∴要使S△POS·S△POR最大，只要y最大，而y的最大值为1，故满足条件的P点存在其坐标为P(0,1)和P(0，

28、－1)．3．(文)(xx·菏泽市一模)如图，已知椭圆C:＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(t>0)，设圆T与椭圆C交于点M、N.(1)求椭圆C的方程；(2)求·的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点．求证：

29、OR

30、·

31、OS

32、为定值．解：(1)由题意知解之得：a＝2，c＝，由c2＝a2－b2得b＝1，故椭圆C方程为＋y2＝1.(2)点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1－y1)不妨设y1>0.由于点M在椭圆C上，∴y＝1－，由已知T(－2,0)

33、，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，∴·＝(x1＋2，y1)(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y，(x1＋2)2－＝2－，由于－2