2019-2020年高考数学一轮复习 3.7正弦定理、余弦定理的应用举例课后自测 理

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1、2019-2020年高考数学一轮复习3.7正弦定理、余弦定理的应用举例课后自测理A组　基础训练一、选择题图3－7－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－7－9所示)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．50m　　　　　　B．50mC．25mD.m【解析】　在△ABC中，由正弦定理＝，AB＝50.【答案】　A2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)A．1　　　B．2sin10°　　C．2cos10

2、°　　D．cos20°【解析】　如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.【答案】　C3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)A．50mB．100mC．120mD．150m【解析】　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h.由余弦定理，(h)2＝h2＋1002－2

3、00h·cos60°，即(h－50)(h＋100)＝0，∴h＝50.故水柱的高度为50m.【答案】　A4．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝(　　)A.B.C.D.【解析】　设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝AB＝，由余弦定理得CE＝CF＝＝，所以cos∠ECF＝＝，所以tan∠ECF＝＝＝.【答案】　D5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　　)A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【解析】　如图，依题意有∠BAC＝6

4、0°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．【答案】　C二、填空题图3－7－106．如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.【解析】　因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，设这条河的宽度为h，∴h＝AC·sinA＝120×＝60(m)．【答案】　607．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰

5、角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．【解析】　如图，依题意甲楼高度AB＝20tan60°＝20米，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°.所以AM＝CM·＝米，所以乙楼的高CD＝20－＝米．【答案】　图3－7－118．如图3－7－11，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是________．【解析】　依题意，得AD＝20m，AC＝30m.在△ACD中，CD＝50m，由余弦定理，cos∠CAD＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，∴∠CAD＝45°，即张角为45°.【答案】

6、　45°三、解答题图3－7－129．(xx·惠州模拟)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)【解】　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝40.在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80)2＋(40)2－2×80×4

7、0×＝9600.∴DC＝40，航模的速度V＝＝2米/秒．答：航模的速度为2米/秒．图3－7－1310．(xx·威海调研)如图3－7－13，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求∠BAC的正弦值．【解】　(1)在△ABC中，