《金版学案》数学理一轮练习：3.7正弦定理、余弦定理的应用举例含解析

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1、第七节正弦定理、余弦定理的应用举例【最新考纲】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.倉孟常撰•夯实双基1教材回归I固本讎©I基础梳理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线ZE方时叫俯角.（如图①）.2.方位角和方向角（1）方位角：从指北方向歷lit转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为d（如图②）.⑵方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30。等.1.坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比.©I学情自测1.(质疑夯基)判断下列

2、结论的正误.(正确的打“V”，错误的(1)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别・()(2)从A处望B处的仰角为(X,从B处望A处的俯角为P，则a,B的关系为a+p=180°.()⑶若点P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北46。.()(4)方位角与方向角的实质均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()答案：(1)X(2)X⑶X⑷丁2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°,现高不变，将倾斜角改为10°,则斜坡长为()B.2sin10°C・2cos10°Decos20°解析：如下图，ZABC=20°,AB=1,ZADC=10°,:.ZABD=160°・在AABD中，由

3、正弦定理，得AD_ABsin160°sin10°AD=ABsin160°sin10°sin20°sin10°=2cos10°答案：C3・若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的（）A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析：如下图所示，ZACB=90°,又AC=BC,・・・ZCBA=45°,而卩=30°,:.a=90°-45°-30°=15°・・••点A在点B的北偏西15°・答案：B1.如下图，已知A,B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50m,ZACB=45°,ZCAB=105

4、°,则A,B两点的距离为（）CA・50^/3mB.25羽mC・25迄mD・50y/2m解析：因为ZACB=45°,ZCAB=105°,所以ZB=30°・由正弦定理可知sinB—sinC解得AB=ACAB50_AB'sin30°sin45°'5（h/2m.答案：D1.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30。,则水柱的高度是（）A.50mB・100mC・120mD・150m解析：设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在AABC中，A=

5、60°,AC=h,AB=100,BC=y[3h.根据余弦定理得，(V3h)2=h2+1002-2hl00cos60°,即於+50h-5000=0,解得h=50,故水柱的高度是50m・答案：A［名师微博•通法领悟｝一个程序解三角形应用题的一般步骤1・审题：阅读理解题意，明确已知与未知，理清量与量之间的关系;2.建模：根据题意画岀示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型;3・求解：根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；4.检验:将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.一个区别“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是［0,2巧,方向角大小的范围

6、一般是［0,亍）・两种情形解三角形应用题的两种情形1.已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设岀未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解.两点注意1.画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程.2.解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据（原始数据），少用间接求出的量.潘扁和盘•高效提能IA级基础巩固一、选择题1.若点A在点B的北偏西30°,则点B

7、在点人的（）A.北偏西30°B.北偏西60°C.南偏东30。D.东偏西30。解析：如下图,点B在点A的南偏东30°・答案：C等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（）南A.akmB.*3akmC.QiakmD・2akm解析：在厶ABC中，AC=BC=a,ZACB=120°,AAB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,AB=J§a.答案：B3.如右图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20