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《2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.6切变变换教学案苏教版选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.6切变变换教学案苏教版选修4-21．由矩阵M＝或N＝确定的变换称为切变变换，矩阵M，N称为切变变换矩阵．2．矩阵把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移
2、ky
3、个单位．当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky＝0时，保持不变，在此变换下，x轴上的点为不动点．3．矩阵把平面上的点(x，y)沿y轴方向平移_
4、kx
5、个单位．当kx＝0时，保持不变，在此变换下，y轴上的点为不动点．求点或平面图形在切变变换作用下的象 [例1] 画出平行四边形ABCD，其中A(0,0)，B(2,0)，C(4,1)，D(2,1)，
6、在切变变换的作用下对应的图形，并指出在这个变换下的不变量．[思路点拨] 把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移
7、ky
8、个单位，此题中k＝－2，故每个点的纵坐标不变，横坐标沿x轴负方向平移2y个单位．[精解详析] 变换矩阵是平行于x轴的切变变换矩阵，在这个变换下，平行四边形上的每个点的纵坐标不变，横坐标沿x轴的负方向平移2y个单位，设变换后平行四边形的顶点是A′，B′，C′，D′，则A′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,1)，D′(0,1)，变换前后的图形如图所示，其中线段AB上的点为不变量．解决此类问题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系，此关系的确定可通过矩阵与向量的乘法规则完成．
9、1．求直线x＝1在矩阵M＝所确定的变换作用下的象．解：因为M＝→＝＝，所以所以直线x＝1在矩阵所确定的变换的作用下的结果是直线x＋y－1＝0.2．如图所示，已知矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段．解：因为＝，＝，＝，＝.所以矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.这里A′(－2，－1)，B′(4,1)，C′(1,1)，D′(－5，－1)，如图所示．线段EF为该切变变换下的不变线段．求切变变换矩阵[例2] 如图，在切变变换下，平行四边形ABCD变换为平行四边形A′B′C′D′，试写出这个切变变换的变换矩阵，指出其中
10、的不变线段．[思路点拨] 观察各点变换前后坐标变化特点，易知是何种切变变换，确定k值．[精解详析] 显然A，B，C，D各点的横坐标不变，纵坐标各自加上了－x，故这个切变变换的变换矩阵是，这个变换中只有平行四边形中与y轴相交部分的线段是不变量．这类试题既可以通过观察，找到k值，也可以根据待定系数的方法确定k值，如例2根据点A(－3，－2)变换前后的坐标可得1＝k(－3)＋(－2)，即得k＝－1.根据两类切变变换的变换公式，平行于x轴的切变变换x轴上的点是不动点，平行于y轴的切变变换y轴上的点是不动点．3．如图已知正方形ABCD在矩阵M对应的线性变换的作用下变成▱A′B′C′D′，求矩阵M.
11、解：由图知，A(0,0)变换为A′(0,0)，B(1,0)变换为B′(1,1)，C(1,1)变换为C′(1,2)，D(0,1)变换为D′(0,1)，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点为不动点，故可得M＝.4．如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A′B′C′D′，试求变换T对应的矩阵M.解：从图中可以看出，T是一个切变变换，且T：→＝.故T对应的变换矩阵为M＝.验证如下：＝，＝，＝，＝.所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.1．求图形F＝{(x，y)
12、0≤x≤2,0≤y≤2}在矩阵A＝对应的线性变换作用下的图形
13、．解：易知图形F为正方形，如图，其中，O(0,0)，A(2,0)，B(2,2)，C(0,2)，设变换后的图形为O′A′B′C′，所以＝，＝，＝，＝.所以O′、A′、B′、C′的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(8,2)、(6,2)，于是O′A′＝(2,0)，C′B′＝(2,0)，O′C′＝(6,2)，∴O′A′綊C′B′，又O′A′·O′C′≠0，所以四边形O′A′B′C′为平行四边形．2．已知直线l：y＝2x－1，变换T对应的矩阵M＝，l在T变换下得到的图像为l′.求l′的方程．解：设P(x0，y0)是直线l上的任一点，该点在变换T对应的矩阵M作用下对应的点P′的坐标为(x，y)．则
14、＝＝.∴∴∵点P(x0，y0)在直线y＝2x－1上，∴y＝2(x－y)－1，即2x－3y－1＝0.∴所求的l′的方程为2x－3y－1＝0.3．如图所示，已知△ABC在变换T的作用下变成△A′B′C′，试求变换T对应的矩阵M.解：从△ABC到△A′B′C′对应的是x轴方向上的切变变换，因为点A，B在x轴上，原地不变，注意到C(－1,1)→C′(1,1)，由此可知该变换使得横坐标依纵坐标的比例为＝2.从而这个变换对应的矩阵为.4．设直线
