2019-2020年高中数学 2.3 直线的参数方程教案 新人教A版选修4-4

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1、2019-2020年高中数学2.3直线的参数方程教案新人教A版选修4-4课标解读1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．2.能用直线的参数方程解决简单问题.　直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是：

2、t

3、是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即

4、t

5、＝

6、

7、.1．若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？【提示】　参数方程为(t为参数)2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】　过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，

8、任意一点M(x，y)为终点的有向线段的长度，即

9、t

10、＝

11、

12、.①当t＞0时，的方向向上；②当t＜0时，的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合.直线的参数方程　已知直线l：(t为参数)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若点M(－3，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．【思路探究】　将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t.【自主解答】　(1)由于直线l：(t为参数)表示过点M0(－，2)且斜率为tan的直线，故直线l的倾斜角α＝.(2)由(1)知，直线l的单位方向向量e＝(cos，sin)＝(，)．∵M0(－，2)，M(－3，0)，∴＝(－2，－2)＝－4(，

13、)＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为

14、

15、＝4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数)．　设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求

16、PA

17、·

18、PB

19、.【解】　(1)直线l的参数方程为(t为参数)(2)把曲线C的参数

20、方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4(－3－t)2＋(3＋t)2－16＝0.即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.由t的几何意义，知

21、PA

22、·

23、PB

24、＝

25、t1·t2

26、，故

27、PA

28、·

29、PB

30、＝

31、t1·t2

32、＝.直线参数方程的简单应用　已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？【思路探究】　考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．【自主解答】　将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程

33、的标准形式为(t′为参数)代入圆方程x2＋y2＝9，得(1＋t′)2＋(2＋t′)2＝9，整理，有t′2＋8t′－4＝0.由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－，t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义．

34、t′1－t2′

35、＝＝.故直线被圆截得的弦长为.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用

36、t1－t2

37、来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝

38、t1－t2

39、；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋

40、t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求

41、M2M

42、及中点坐标)．　若将条件改为“直线l经过点A(1,2)，倾斜角为，圆x2＋y2＝9不变”，试求：(1)直线l的参数方程；(2)直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．【解】　(1)直线l的参数方程为(t为参数)．(2)将代入x2＋y2＝9，得t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义，得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为

43、t1t2

44、＝4.参数方程与极坐标的综合问题　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度

45、单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求

46、PA

47、＋

48、PB

49、.【思路探究】　(1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A、B的坐标，也可考虑利用t的几何意义求解．【自主解答】　(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ.∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y