2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A版选修4-4

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1、2019-2020年高中数学1.1平面直角坐标系教案新人教A版选修4-4课标解读1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当

2、坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P′(x′，y′)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．1．如何

3、根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？【提示】　①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】　如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x，y)即为点P的坐标．3．如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】　在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向

4、拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.运用坐标法解决平面几何问题　已知▱ABCD，求证：

5、AC

6、2＋

7、BD

8、2＝2(

9、AB

10、2＋

11、AD

12、2)．【思路探究】　从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】　法一　(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E(，)，由对称性知D(b－a，c)，所以

13、AB

14、2＝a2，

15、AD

16、

17、2＝(b－a)2＋c2，

18、AC

19、2＝b2＋c2，

20、BD

21、2＝(b－2a)2＋c2，

22、AC

23、2＋

24、BD

25、2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，

26、AB

27、2＋

28、AD

29、2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴

30、AC

31、2＋

32、BD

33、2＝2(

34、AB

35、2＋

36、AD

37、2)．法二　(向量法)在▱ABCD中，＝＋，两边平方得2＝

38、

39、2＝2＋2＋2·，同理得2＝

40、

41、2＝2＋2＋2·，以上两式相加，得

42、

43、2＋

44、

45、2＝2(

46、

47、2＋

48、

49、2)＋2·(＋)＝2(

50、

51、2＋

52、

53、2)，即

54、AC

55、2＋

56、BD

57、2＝2(

58、AB

59、2＋

60、AD

61、2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理

62、：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．　已知△ABC中，点D在BC边上，且满足

63、BD

64、＝

65、CD

66、.求证：

67、AB

68、2＋

69、AC

70、2＝2(

71、AD

72、2＋

73、BD

74、2)．

75、【证明】　法一　以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则D(，)，所以

76、AD

77、2＋

78、BD

79、2＝＋＋＋＝(a2＋b2＋c2)，

80、AB

81、2＋

82、AC

83、2＝a2＋b2＋c2＝2(

84、AD

85、2＋

86、BD

87、2)．法二　延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得

88、AE

89、2＋

90、BC

91、2＝2(

92、AB

93、2＋

94、AC

95、2)，即(2

96、AD

97、)2＋(2

98、BD

99、)2＝2(

100、AB

101、2＋

102、AC

103、2)，所以

104、AB

105、2＋

106、AC

107、2＝2(

108、AD

109、2＋

110、B

111、D

112、2)．