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《2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A版选修4-4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学1.1平面直角坐标系教案新人教A版选修4-4课标解读1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用并领会坐标法的应用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况,掌握平面直角坐标系中的伸缩变换.3.能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.1.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当
2、坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.(1)在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩,因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示.(2)在使用时,要注意点的对应性,即分清新旧:P′(x′,y′)是变换后的点的坐标,P(x,y)是变换前的点的坐标.1.如何
3、根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系?【提示】 ①如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;②如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;③若题目有已知长度的线段,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点.建系原则:使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.2.如何确定坐标平面内点的坐标?【提示】 如图,过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN,垂足分别为M、N,则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x,y)即为点P的坐标.3.如何理解点的坐标的伸缩变换?【提示】 在平面直角坐标系中,变换φ将点P(x,y)变换到P′(x′,y′).当λ>1时,是横向
4、拉伸变换,当0<λ<1时,是横向压缩变换;当μ>1时,是纵向拉伸变换,当0<μ<1时,是纵向压缩变换.运用坐标法解决平面几何问题 已知▱ABCD,求证:
5、AC
6、2+
7、BD
8、2=2(
9、AB
10、2+
11、AD
12、2).【思路探究】 从要证的结论,联想到两点间的距离公式(或向量模的平方),因此首先建立坐标系,设出A,B,C,D点的坐标,通过计算,证明几何结论.【自主解答】 法一 (坐标法)以A为坐标原点O,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0),设B(a,0),C(b,c),则AC的中点E(,),由对称性知D(b-a,c),所以
13、AB
14、2=a2,
15、AD
16、
17、2=(b-a)2+c2,
18、AC
19、2=b2+c2,
20、BD
21、2=(b-2a)2+c2,
22、AC
23、2+
24、BD
25、2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),
26、AB
27、2+
28、AD
29、2=2a2+b2+c2-2ab,∴
30、AC
31、2+
32、BD
33、2=2(
34、AB
35、2+
36、AD
37、2).法二 (向量法)在▱ABCD中,=+,两边平方得2=
38、
39、2=2+2+2·,同理得2=
40、
41、2=2+2+2·,以上两式相加,得
42、
43、2+
44、
45、2=2(
46、
47、2+
48、
49、2)+2·(+)=2(
50、
51、2+
52、
53、2),即
54、AC
55、2+
56、BD
57、2=2(
58、AB
59、2+
60、AD
61、2).1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理
62、:平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算,更显言简意赅,给人以简捷明快之感.2.建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使运算简便,表达式简明.(2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程;(3)运算——通过运算,得到所需要的结果. 已知△ABC中,点D在BC边上,且满足
63、BD
64、=
65、CD
66、.求证:
67、AB
68、2+
69、AC
70、2=2(
71、AD
72、2+
73、BD
74、2).
75、【证明】 法一 以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.则A(0,0),设B(a,0),C(b,c),则D(,),所以
76、AD
77、2+
78、BD
79、2=+++=(a2+b2+c2),
80、AB
81、2+
82、AC
83、2=a2+b2+c2=2(
84、AD
85、2+
86、BD
87、2).法二 延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形,由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得
88、AE
89、2+
90、BC
91、2=2(
92、AB
93、2+
94、AC
95、2),即(2
96、AD
97、)2+(2
98、BD
99、)2=2(
100、AB
101、2+
102、AC
103、2),所以
104、AB
105、2+
106、AC
107、2=2(
108、AD
109、2+
110、B
111、D
112、2).
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