数学建模-模煳数学理论

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1、1模糊数学的基本概念2模糊关系与模糊矩阵3模糊聚类分析模糊模式识别模糊综合评判模糊数学1模糊数学的基本概念1.1模糊数学概述模糊数学是研究和处理模糊性现象（或概念）的数学方法，而不是把数学变成模模糊糊的东西，它所要处理事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定，我们称这种不确定性为模糊性。它与普遍性不同，普遍性是是指一种可用来表达整个明确定义的现象和活动的特性。它与随机不确定性不同，随机的不确定性也是概率的不确定性，其研究的事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，而使得在条件与事件之间不能出现决定的因果关

2、系，从而事件的出现与否表现出不确定性，这种不确定性称为随机性。例如“掷一个骰子时出现4点”是一个明确的事件，但掷骰子时并非只出现4点，我们说出现4点的概率是1/6。回总目录回本章目录模糊数学所研究的不确定性是：它所处理事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性。如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女生”、“黎明时刻”、“班上高个子学生”等。我们无法明确地指出，从几点钟开始就算黎明，或身高多少就是高个子。这种概念具有模糊性，无法用普通集合来描述。为了定量地表示这类模糊概念，并研究它们的客观规律性

3、，就必须把普通集合的概念加以拓广，借助于模糊集合来研究。论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U，称之为论域。普通集合——特征函数设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合A的特征函数:（集合A可由特征函数唯一确定）1.2模糊集与隶属函数模糊集合——隶属函数1.2.1模糊集与隶属函数的概念1）论域U上的模糊集合A指：对于任意的u∈U,总是以某个程度属于A；即对于所研究的某个对象，我们不能确定它有或者没有一个模糊概念所描述的性质。而只能讨论它具有这种性质的程度是多少。用集合论的观点说，定义一个模

4、糊集合，我们无法确定一个元素是否属于这个模糊集合，而只能说它有多大程度属于这个模糊集合。这种从属程度我们用0，1之间的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的想法。2）隶属函数设在论域U上给定了一个映射，则定义了U上的一个模糊子集A，映射称为模糊集A的隶属函数，称为x对模糊集A的隶属程度，也可表示为A(x)。3）模糊集的表示4）模糊集的运算模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运算规律。A与B的并集、交集及A的补集定义如下：1.2.2隶属函数的确定方法模糊数学的基本思想是隶属程度的思想，应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立

5、符合实际的隶属函数，下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法：1）模糊统计方法它可以算是一种比较客观的方法，主要是基于模糊统计实验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定的。模糊统计试验的四要素为：假设我们做n次模糊统计试验，则可算出当n不断增大时，其频率的稳定值称为x0对A的隶属度，即2）指派方法指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的的一种方法。若模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布；指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些模糊分布，再根据实际测量数据确定其中的参数，常用的模糊分

6、布见下表：偏小型：适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等中间型：适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓”“暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。常用的模糊分布3）借用已有的“客观”尺度在经济管理、社会科学中可以直接借用已有的尺度作为模糊集的隶属度，如在论域U上定义模糊集A=“设备完好”，可以“设备完好率”作为隶属度来表示“设备完好”这个模糊集。在论域U(家庭)上定义模糊集C=“贫困家庭”可用恩格尔系数=“食品消费支出”/“总消费”作为隶属度来表示家庭贫困程度。

7、4）二元对比排序法对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，再用数学方法加工得到隶属函数，其实是隶属函数的一种离散表示法1）模糊关系2模糊关系与模糊矩阵2.1模糊关系与模糊矩阵的概念2)模糊矩阵2.2模糊等价关系与模糊相似关系1）模糊等价关系2）模糊等价矩阵3）模糊相似关系与模糊相似矩阵2.3截矩阵与传递矩阵1）截矩阵2）模糊传递矩阵所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一种多元分

8、析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于数理统