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1、模糊数学简介模糊数学(Fuzzymathematics,弗晰数学)是解决模糊性问题的数学分支.这里所谓的“模糊”是相对于“明晰”而言的,而所谓的“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是经典集合论:一个元素a,要么属于集合A,要么要么属于A的余集,二者必居其一.但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样“明晰”,有许多概念没有明确的界限,特别是在人类的思维与语言中,例如:高矮、胖瘦、美丑等.模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关.1965年,美国加利福尼亚大学自动控制专家L.A.Zadeh第一次提出了模糊性问题,从不同于经典数学的角度,研究数学的基础集合论,给出了模糊概念的定量表示方
2、法,发表了著名的论文“模糊集合”(Fuzzysets).这篇论文的问世,标志着模糊数学的诞生.随着研究的深入,模糊数学的内容日益丰富,其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域,取得了很多重要成果,例如:模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.L.A.Zadeh是美国工程科学院院士,1921年2月出生在前苏联的阿塞拜疆,1942年毕业于伊朗的德黑兰大学,1949年获美国哥伦比亚大学电机工程博士学位,现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授,曾多次在一些大学和公司做访问研究,其中包括MIT和IBM实验室.他的著名论文L.A.Zadeh,Fuzzysets,Infor
3、mationandcontrol,1965,8(3):338-353.第一章模糊集合§1.1经典集合经典集合的元素彼此相异,即无重复性,并且边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.集合A的特征函数:集合的表示法:(1)枚举法;(2)描述法,A={x
4、P(x)}.AB若xA,则xB;AB若xB,则xA;A=BAB且AB.集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集,记为2A.并集A∪B={x
5、xA或xB};交集A∩B={x
6、xA且xB};设全集是X,AX,余集Ac={x
7、xX,xA}.集合的运算规
8、律幂等律:A∪A=A,A∩A=A;交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);0-1律:A∪X=X,A∩X=A;A∪=A,A∩=;还原律:(Ac)c=A;对偶律:(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc;排中律:A∪Ac=X,A∩Ac=,其中X为全集,为空集.集合运算的特征函数表示这里∨表示取大运算,∧表示取小运算.集合的笛卡儿积:XY={(x,y)
9、xX,
10、yY}.映射f:XY二元关系XY的子集R称为从X到Y的二元关系,特别地,当X=Y时,称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R,则称x与y有关系,记为R(x,y)=1;若(x,y)R,则称x与y没有关系,记为R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R上的特征函数.关系的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},R为从X到Y的二元关系,记rij=R(xi,yj),R=(rij)m×n,则R为布尔矩阵(Boolematrix),称为R的关系矩阵.布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵.关系的合成设R1是X到Y的关系,
11、R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1○R2是X到Z上的一个关系.(R1○R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]
12、y∈Y}关系合成的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn},且X到Y的关系R1=(aik)m×s,Y到Z的关系R2=(bkj)s×n,则X到Z的关系可表示为矩阵形式:R1○R2=(cij)m×n,其中cij=∨{(aik∧bkj)
13、1≤k≤s},R1○R2称为矩阵的布尔乘积.例设X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1={
14、(x,y)
15、x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(y,z)
16、y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1与R2的合成R1○R2={(x,z)
17、x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.等价关系:设R为X上的关系,如果满足(1)自反性:X中的任何元素都与自己有关系,即R(x,x)=1;(2)对称性:对X中的两个元素x,y,若x与y有关系,则y与x有关系,即若R(x,y)=1,则R(y,x)=1;(3)传递性:对于X中