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1、数学建模——模糊数学方法模糊数学方法模糊综合评判模糊聚类分析模糊矩阵设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.模糊矩阵及运算与性质模糊矩阵间的关系及并、交、余运算设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义相等：A=Baij=bij；包含：A≤Baij≤bij；并：A∪B=(aij∨bij)m×n；交：A∩B=(aij∧bij)m×n
2、；余：Ac=(1-aij)m×n.设A=(aik)m×s，B=(bkj)s×n，称模糊矩阵A°B=(cij)m×n，为A与B的合成，其中cij=∨{(aik∧bkj)
3、1≤k≤s}.模糊矩阵的合成模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=A°A，A3=A2°A，…，Ak=Ak-1°A.模糊矩阵的转置定义设A=(aij)m×n,称AT=(aijT)n×m为A的转置矩阵，其中aijT=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T=A；性质2：(A∪B)T=AT∪BT，(A∩B)T=AT∩BT；性质3：(A°B
4、)T=BT°AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤BAT≤BT.模糊矩阵的λ－截矩阵设A=(aij)m×n,对任意的∈[0,1]，称A=(aij())m×n,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中当aij≥时，aij()=1；当aij＜时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.模糊综合评价模型对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决
5、策能力和管理水平的一种有效方法。模糊综合评价的基本步骤：（1）首先要求出模糊评价矩阵P，其中Pｉｊ表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第i个目标权系数为Wｉ，则可得权系数向量：A＝（W1，W2，…Wｎ）（2）综合评判利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的不同定义，可得到不同的模型模型1M（Λ，V）——主因素决定型模型2M（٠，ν）——主因素突出型模型3M（٠，+）——加权平均型例1：对某品牌电
6、视机进行综合模糊评价设评价指标集合：U＝｛图像，声音，价格｝；评语集合：V＝｛很好，较好，一般，不好｝；首先对图像进行评价：假设有30%的人认为很好，50%的人认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为（0.3,0.5,0.2,0)同样对声音有：0.4,0.3,0.2,0.1)对价格为： （0.1,0.1,0.3,0.5)所以有模糊评价矩阵：设三个指标的权系数向量：A＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝＝（0.5,0.3,0.2)应用模型1，bj=max{(aiΛrij)有综合评
7、价结果为：B＝A⊙P＝（0.3,0.5,0.2,0.2)归一化处理：B＝（0.25,0.42,0.17,0.17)所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。例2：对科技成果项目的综合评价有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。三个科研成果的有关情况表设评价指标集合：U＝｛科技水平，实现可能性，经济效益｝评语集合：V＝｛高，中，低｝评价指标权系数向量：A＝（0.2，0.3，0.5）专家评价结果表由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵P、Q、R：求得：归一化后得：所以项目乙可推荐为优秀项目因素集
8、：U={政治表现及工作态度，教学水平，科研水平，外语水平}；评判集：V={好，较好，一般，较差，差}；例3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋升教授为例（1）建立模糊综合评判矩阵当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分或投票的方法表明各自的评价例如对王，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。评判集因素集 好 较好 一般 较差 差政治表现及工作态度
9、4 2 1 0 0教学水平6 1 0 0 0科研水平0 0 5 1 1外语水平2 2 1 1 1（2）综合评判以教学为
