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1、对数发明的历史1、对数发明的背景16世纪前半叶,欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易,需要更为准确的天文知识,而天文学的研究中,需要大量烦琐的计算,特别是三角函数的连乘,天文学家们苦不堪言。德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式,即sinα·sinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2,cosα·cosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2.大大简化了三角函数连乘的计算。比如,计算sin67°34'×sin9°3',可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418,sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐,且容易出错。
2、(请你不用计算器,手算一下0.92432418×0.15729632=?,记住还要验算一遍,以保证计算正确哦!)用维尔纳的三角函数积化和差公式,计算就大大简便了:sin67°34'×sin9°3'=cos(67°34'-9°3')-cos(67°34'+9°3')=[cos(58°31')-cos(76°37')]/2=[0.52225052-0.23146492]/2=0.14539280这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算,方法如下:若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a,sinβ=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)
3、,再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β),最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方,因此,寻找更好的计算迫在眉睫。2、对数产生的前奏请你观察下面两个数列,并找出规律:1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384⋯⋯0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14⋯⋯德国数学家Stifel(1487~1567)在观察上述两个数
4、列时,称上排的数为“原数”,下排的数为“代表数”(德文Exponent),Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel指出:“欲求上边任两数的积(商),只要先求出其下边代表数的和(差),然后再把这个和(差)对向上边的一个原数,则此原数即为所求之积(商)。”比如,计算16×1024,只要计算16的“代表数”4、1024的“代表数”10之和4+10=14,再查出与“代表数”14相对应的“原数”16384,就得到16×1024的乘积。实际上,Stifel已经掌握了对数运算法则,因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”
5、以2为底的对数。说明:上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为:20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211,212,213214⋯⋯0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1314⋯⋯则16×128实际上就是24×27=24+7=211=2048。此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算17951235×0.08304115,设17951235=aX,0.08304115=aY,则17951235×0.08304115=aX×aY=aX+Y。这里x是17951235的(以a为底的)对数,y是0.08304115的(以a为底
6、的)对数。底a是可以任意指定的,我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数)x=lg17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115=-1.0807066451,计算x+y=6.1733876872,再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数,106.1733876872=1490691.1983就得到了17951235的乘积。这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念,人们还完全想不到这样的原理。Stifel尝试做任何两个数乘除时,遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:
7、“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。3、对数的发明对数的概念,首先是由苏格兰数学家JohnNapier(纳皮尔,1550~1617)提出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier也是一位天文爱好者,他感到,“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算