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1、对数发明的历史1、对数发明的背景16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2,cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2.大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。
2、（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：sin67°34'×sin9°3'＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2＝[0.52225052-0.23146492]/2＝0.14539280这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a,sinβ=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)
3、，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β),最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。2、对数产生的前奏请你观察下面两个数列,并找出规律:1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096，8192，16384⋯⋯0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，13，14⋯⋯德国数学家Stifel(1487～1567)在观察上述两个数
4、列时,称上排的数为“原数”,下排的数为“代表数”(德文Exponent),Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数”4、1024的“代表数”10之和4+10=14，再查出与“代表数”14相对应的“原数”16384，就得到16×1024的乘积。实际上,Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”
5、以2为底的对数。说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：2０，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，211，212,213214⋯⋯0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，1314⋯⋯则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048。此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝aX,0.08304115＝aY，则17951235×0.08304115＝aX×aY＝aX+Y。这里x是17951235的(以a为底的)对数，y是0.08304115的(以a为底
6、的)对数。底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数)x=lg17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数，106.1733876872＝1490691.1983就得到了17951235的乘积。这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念，人们还完全想不到这样的原理。Stifel尝试做任何两个数乘除时，遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:
7、“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。3、对数的发明对数的概念，首先是由苏格兰数学家JohnNapier(纳皮尔，1550～1617)提出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算
